Question

已知：如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，==：
（1）若BE平分∠ABC，試說(shuō)明四邊形DBFE的形狀，并加以證明；
（2）若點(diǎn)G為△ABC的重心，且△BCG與△EFG的面積之和為20，求△BCG的面積．

Answer 1

解：（1）四邊形DBFE是菱形．
證明：∵△ABC中，==，
∴FE∥BC，DE∥AB，
∴四邊形DBFE是平行四邊形，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠DBE，
∵FE∥BC，
∴∠FEB=∠DBE，
∴∠FBE=∠FEB，
∴BF=EF，
∴四邊形DBFE是菱形；

（2）∵FE∥BC，
∴△EFG∽△BCG，
∴=（）²，
∵點(diǎn)G為△ABC的重心，
∴=，
∴=（）²=，
∴S_△BCG=4S_△EFG．
∵S_△EFG+S_△BCG=20，
∴S_△BCG=16．
分析：（1）由△ABC中，==，可得FE∥BC，DE∥AB，即可判定四邊形DBFE是平行四邊形，又由BE平分∠ABC，可證得BF=EF，即可判定四邊形DBFE是菱形；
（2）由FE∥BC，可得△EFG∽△BCG，又由相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得=（）²，然后由點(diǎn)G為△ABC的重心，可得FG：GC=1：2，可得S_△BCG=4S_△EFG．又由△BCG與△EFG的面積之和為20，即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形重心的性質(zhì)以及菱形的判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．