Question

已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓，P是半圓上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合)，連接PA、PB、PC、PD．

(1)如圖①，當(dāng)PA的長(zhǎng)度等于________時(shí)，∠PAB＝60°；當(dāng)PA的長(zhǎng)度等于________時(shí)，△PAD是等腰三角形；

(2)如圖②，以AB邊所在直線為x軸、AD邊所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系(點(diǎn)A即為原點(diǎn)O)，把△PAD、△PAB、△PBC的面積分別記為S₁、S₂、S₃．坐標(biāo)為(a，b)，試求2S₁S₃－S₂²的最大值，并求出此時(shí)a，b的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)2；或． 　　(2)如圖，過點(diǎn)P分別作PE⊥AB，PF⊥AD， 　　垂足分別為E、F，延長(zhǎng)FP交BC于點(diǎn)G，則PG⊥BC． 　　∵P點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b)，∴PE＝b，PF＝a，PG＝4－a． 　　在△PAD、△PAB及△PBC中， 　　S1＝2a，S2＝2b，S3＝8－2a， 　　∵AB為直徑，∴∠APB＝90°． 　　∴PE2＝AE·BE，即b2＝a(4－a)． 　　∴2S1S3－＝4a(8－2a)－4b2 　　． 　　∴當(dāng)a＝2時(shí)，b＝2，2S1S3－S22有最大值16．