Question

【題目】如圖（1），二次函數(shù)的圖象與軸、直線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)、．

圖（1） 圖（2） （備用圖）

（1）_________，_________，=_________；

（2）連接AB，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)（異于點(diǎn)A），且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖（2），點(diǎn)、是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

①過點(diǎn)、分別作軸的垂線，與拋物線相交于點(diǎn)、，連接．當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值并判斷四邊形的形狀；

②連接、，求為何值時(shí)，取得最小值，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）①時(shí)，取得最大值；四邊形是平行四邊形；②當(dāng)時(shí)，最小，這個(gè)最小值為．

【解析】

（1）利用坐標(biāo)點(diǎn)過二次函數(shù)圖像，待定系數(shù)法即可得.

直線OB是正比例函數(shù)， ，可得出直線與x軸的夾角.

（2）通過找的對(duì)稱點(diǎn) 作輔助線,通過圖像的幾何特征聯(lián)立方程求出直線解析式，直線一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)即為所求的坐標(biāo)點(diǎn).

（3）①找出線段關(guān)系式，即線段和以m的關(guān)系式，問題變成以m為變量的函數(shù)極值問題，通過配方法解得.

②動(dòng)點(diǎn)線段和的極值問題，關(guān)鍵是找對(duì)稱點(diǎn)，通過“兩點(diǎn)間，線段最短”的思路添加輔助線求得.

（1）

因?yàn)槎�次函�?shù)圖像經(jīng)過、

∴解得 ，，

又∵正比例函數(shù)， ，可得出直線與x軸的夾角；

（2）

作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，直線

∵，，

∴ ∴

又∵，設(shè)的解析式為

則有

∴求出直線的解析式為，

解方程組，得

（3）①

∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且軸，

∴，，

又∵，且是線段上的一動(dòng)線段，

span>∴，，

∴，

，

∴

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值；

此時(shí)，，

∴

∴四邊形是平行四邊形．

②

如圖所示，過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，

∴

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，連接，，則．

∴

∴當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最短，此時(shí)最短，

∵，，

∴，，

得出直線的解析式為，

解方程組，可得，

∴，而

∴，，

，

故當(dāng)時(shí)，最小，這個(gè)最小值為．