Question

十進制中，四位數(shù)能滿足下列條件的就叫做“和諧平方數(shù)”：
①它的數(shù)字都不為零；
②它是一個完全平方數(shù)； 
③這個數(shù)的前兩位數(shù)字，后兩位數(shù)字都是完全平方數(shù)（看做兩位數(shù)時），
問這樣的“和諧平方數(shù)“的個數(shù)為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：完全平方數(shù),平方差公式,不等式的性質(zhì)

專題：新定義

分析：由②可設(shè)該“和諧平方數(shù)”為a²，由③可設(shè)該“和諧平方數(shù)”前兩位數(shù)字構(gòu)成的兩位數(shù)為b²，后兩位數(shù)字構(gòu)成的兩位數(shù)為c²，則100b²+c²=a²．由①可知：b，c為正整數(shù)，且4≤b≤9，4≤c≤9．由100b²+c²=a²得（a+10b）（a-10b）=c²．設(shè)a+10b=x，a-10b=y（x、y為正整數(shù)），則xy=c²，x-y=20b．利用不等式的性質(zhì)可得80＜c²≤81，從而得到c的值，進而得到b的值，就可求出這個“和諧平方數(shù)”，就可解決問題．

解答：解：由②可設(shè)該“和諧平方數(shù)”為a²，
由③可設(shè)該“和諧平方數(shù)”前兩位數(shù)字構(gòu)成的兩位數(shù)為b²，后兩位數(shù)字構(gòu)成的兩位數(shù)為c²，
則100b²+c²=a²．
由①可知：b，c為正整數(shù)，且4≤b≤9，4≤c≤9．
∵100b²+c²=a²，
∴a²-100b²=c²．
∴（a+10b）（a-10b）=c²．
設(shè)a+10b=x，a-10b=y，（x、y為正整數(shù)）
則xy=c²，x-y=20b．
∴c²≥x＞20b≥80．
∵c≤9，
∴c²≤81．C L
∴80＜c²≤81．
∴c=9．
∴80≤20b＜81．
∴b=4．
∴a²=100b²+c²=1681，此時a=41．
∴這樣的“和諧平方數(shù)”為1681，只有一個．
故選：A．

點評：考查了完全平方數(shù)，本題主要用的是平方差公式以及不等式的性質(zhì)等知識，而利用不等式的性質(zhì)得到c²的范圍是解決本題的關(guān)鍵．