Question

（2012•豐臺區(qū)二模）如圖，將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（2

3

，0），C（0，2）．
（1）拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點B、C，求該拋物線的解析式；
（2）將矩形OABC繞原點順時針旋轉(zhuǎn)一個角度α（0°＜α＜90°），在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)矩形的頂點落在（1）中的拋物線的對稱軸上時，求此時這個頂點的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），將矩形OABC繞原點順時針旋轉(zhuǎn)一個角度θ（0°＜θ＜180°），將得到矩形OA′B′C′，設(shè)A′C′的中點為點E，連接CE，當(dāng)θ=

120

°時，線段CE的長度最大，最大值為

4

．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)以及A、C點的坐標(biāo)確定點B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法確定該拋物線的解析式．
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為D，若矩形的頂點恰好落在拋物線對稱軸上時，該頂點、O、D正好構(gòu)成一個直角三角形，由勾股定理即可確定這個頂點的坐標(biāo)．
（3）觀察圖示可知：當(dāng)點E運動到y(tǒng)軸負(fù)半軸上時，CE最長，找出了這個關(guān)鍵位置，解答問題就簡單多了．

解答：解：（1）∵矩形OABC，A（2

3

，0），C（0，2），∴B（2

3

，2）．
∴拋物線的對稱軸為x=

3

．∴b=

3

．
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+2

3

x+2．

（2）①當(dāng)頂點A落在對稱軸上時，設(shè)點A的對應(yīng)點為點A′，連接OA′，
設(shè)對稱軸x=

3

與x軸交于點D，∴OD=

3

．
∴OA′=OA=2

3

．
在Rt△OA′D中，根據(jù)勾股定理A′D=3．
∴A′（

3

，-3）． 
②當(dāng)頂點落C對稱軸上時（如圖），設(shè)點C的對應(yīng)點為點C′，連接OC′，
在Rt△OC′D中，根據(jù)勾股定理C′D=1．
∴C′（

3

，1）．

（3）如右圖，設(shè)AC、OB的交點為E；
在Rt△OAB中，OA=2

3

，AB=2，∴∠BOA=30°，OE=AB=2；
在OE旋轉(zhuǎn)過程中，可將點E的軌跡看作是以O(shè)為圓心，以O(shè)E為半徑的圓（旋轉(zhuǎn)角度：0°～180°）；
由圖可看出，當(dāng)點E運動到y(tǒng)軸負(fù)半軸上時（即點E′的位置），CE最長；
此時，旋轉(zhuǎn)的角度：∠EOE′=∠BOA+90°=30°+90°=120°；
CE的最長值：CE′=OC+OE′=2+2=4；
故填：120°，4．

點評：該題主要考查了函數(shù)解析式的確定、矩形的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)以及勾股定理的應(yīng)用等綜合知識；題目的難度不大，需要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．