Question

如圖所示，Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠ABC的平分線交AD于O，交AC于E，OG∥AC交BC于G．
（1）求證：∠1=∠2．
（2）求證：△BAO≌△BGO．
（3）求證：四邊形AOGE是菱形．

Answer 1

證明：（1）∵∠BAC=90°
∴∠6+∠1=90°
∵AD⊥BC
∴∠7+∠5=90°
∵BE是∠ABC的平分線
∴∠6=∠7
∴∠5=∠1
又∵∠5=∠2
∴∠1=∠2；

（2）∵OG∥AC
∴∠3=∠C
∵∠4=∠C
∴∠3=∠4
∵BE是∠ABC的平分線
∴∠ABO=∠GBO
∵OB=OB
∴△BAO≌△BGO；

（3）∵△BAO≌△BGO
∴OA=OG
∵∠1=∠2
∴OA=AE
∴OG平行且等于AE
∴AOGE為平行四邊形
∵OA=OG
∴AOGE為菱形．
分析：（1）因?yàn)椤螧AC=Rt∠，所以∠6+∠1=90°，又因?yàn)锳D⊥BC，所以∠7+∠5=90°，因BE是∠ABC的平分線，故∠6=∠7，∠5=∠1，∠5與∠2是對頂角，即∠5=∠2，所以可求證∠1=∠2；
（2）因?yàn)镺G∥AC，所以∠3=∠C，又因?yàn)椤?=∠C，所以有∠3=∠4，因BE是∠ABC的平分線，則∠ABO=∠GBO，BO共邊，即可根據(jù)AAS判定△BAO≌△BGO；
（3）因?yàn)椤鰾AO≌△BGO，所以O(shè)A=OG，又因?yàn)椤?=∠2，所以O(shè)A=AE，即有OG平行且等于AE，故AOGE為平行四邊形，又因?yàn)镺A=OG，所以可求證四邊形AOGE是菱形．
點(diǎn)評：本題綜合考查三角形全等的判定方法和菱形的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．