Question

問題：你能比較兩個數(shù)2009²⁰¹⁰和2010²⁰⁰⁹的大小嗎？
為了解決這個問題，我們先把它抽象成數(shù)學問題，寫出它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大�。╪是自然數(shù)），然后我們從分析n=1，n=2，n=3，…這些簡單情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜想出結(jié)論．
（1）通過計算，比較下列各組中兩個數(shù)的大�。�
①1²

 

2¹；②2³

 

3²；③3⁴

 

4³；
④4⁵

 

5⁴；⑤5⁶

 

6⁵；⑥6⁷

 

7⁶…
（2）從第（1）題的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關(guān)系式是

 

；
（3）根據(jù)上面歸納想得到的一般結(jié)論，試比較兩個數(shù)的大小：2009²⁰¹⁰

 

2010²⁰⁰⁹．

Answer 1

考點：有理數(shù)大小比較,規(guī)律型：數(shù)字的變化類

專題：

分析：（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方求出結(jié)果，再根據(jù)結(jié)果判斷大小即可；
（2）根據(jù)（1）中求出的答案得出規(guī)律即可；
（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論得出即可．

解答：解：（1）①1²＜2¹，②2³＜3²，③3⁴＞4³，④4⁵＞5⁴，⑤5⁶＞6⁵，⑥6⁷＞7⁶，
故答案為：＜，＜，＞，＞，＞，＞；
（2）從第（1）題的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關(guān)系式是
當n=1或2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當n≥3時nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；，
故答案為：當n=1或2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當n≥3時nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹，
故答案為：＞．

點評：本題考查了有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的大小比較的應用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律，題目比較好，有一定的難度．