Question

如圖，∠AOB=90°，CD是

AB

的三等分點，連接AB分別交OC，OD于點E，F(xiàn)．
求證：AE=BF=CD．

Answer 1

考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接AC，BD，根據(jù)∠AOB=90°得出∠AOC的度數(shù)，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠OFE的度數(shù)．根據(jù)SAS定理得出△ACO≌△DCO，故可得出∠ACO=∠OCD，根據(jù)等角對等邊可得出AC=AE，同理可得BF=BD，由此可得出結(jié)論．

解答：證明：連接AC，BD，
∵在⊙O中，半徑OA⊥OB，C、D為弧AB的三等分點，
∴∠AOC=

1

3

∠AOB=

1

3

×90°=30°．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，
∵C，D是

AB

的三等分點，
∴AC=CD=BD，
在△ACO與△DCO中，

OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD

，
∴△ACO≌△DCO（SAS），
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD=

180°-30°

2

=75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
∴AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴AE=BF=CD．

點評：本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟知在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等是解答此題的關(guān)鍵．