Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，

2

3

），且與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），且A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．

（1）求拋物線的解析式及B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在（1）中拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l上是否存在一點(diǎn)P，使AP+CP的值最��？若存在，求AP+CP的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）以AB為直徑的⊙M與直線CE相切于點(diǎn)E，CE交x軸點(diǎn)D，求直線CE的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）利用頂點(diǎn)式求得二次函數(shù)的解析式后令其等于0后求得x的值即為與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)；
（2）線段BC的長(zhǎng)即為AP+CP的最小值；
（3）連接ME，根據(jù)CE是⊙M的切線得到ME⊥CE，∠CEM=90°，從而證得△COD≌△MED，設(shè)OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定線段CE的解析式即可．

解答：解：（1）由題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）²+

2

3

（a≠0）
∵拋物線經(jīng)過(guò)（2，0）
∴a（2-4）²+

2

3

=0
解得：a=-

1

6

∴y=-

1

6

（x-4）²+

2

3

，
即：y=-

1

6

x²+

4

3

x-2，
當(dāng)y=0時(shí)，0=-

1

6

x²+

4

3

x-2，
解得：x=2或x=6
∴B（6，0）；

（2）存在，
如圖1，由（1）知：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l為x=4，
因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，連接CB交l于點(diǎn)P，則AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小
∵B（6，0），C（0，2）
∴OB=6，OC=2
∴BC=2

10

，
∴AP+CP=BC=2

10

∴AP+CP的最小值為2

10

；

（3）如備用圖，連接ME
∵CE是⊙M的切線
∴ME⊥CE，∠CEM=90°
由題意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE
∵在△COD與△MED中

∠COD=∠MED ∠ODC=∠EDM OC=ME

∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD=DE，DC=DM
設(shè)OD=x
則CD=DM=OM-OD=4-x
則Rt△COD中，OD²+OC²=CD²，
∴x²+2²=（4-x）²
∴x=

3

2

∴D（

3

2

，0）
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線CE過(guò)C（0，-2），D（

3

2

，0）兩點(diǎn)，
則

3 2 k+b=0 b=-2

，
解得：

k= 4 3 b=-2

∴直線CE的解析式為y=

4

3

x-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)以及利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出D點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．