Question

（2013•西寧）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為⊙O直徑，作∠CAD=∠B，且點D在BC的延長線上，CE⊥AD于點E．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為8，CE=2，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）首先連接OA，由BC為⊙O直徑，CE⊥AD，∠CAD=∠B，易求得∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°，則可證得AD是⊙O的切線；
（2）易證得△CED∽△OAD，然后設(shè)CD=x，則OD=x+8，由相似三角形的對應邊成比例，可得方程：

x

x+8

=

2

8

，繼而求得答案．

解答：（1）證明：連接OA，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD+∠OAC=90°，
即∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵點A在圓上，
∴AD是⊙O的切線；

（2）解：∵CE⊥AD，
∴∠CED=∠OAD=90°，
∴CE∥OA，
∴△CED∽△OAD，
∴

CD

OD

=

CE

OA

，CE=2，
設(shè)CD=x，則OD=x+8，
即

x

x+8

=

2

8

，
解得x=

8

3

，
經(jīng)檢驗x=

8

3

是原分式方程的解，
所以CD=

8

3

．

點評：此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．