Question

如圖所示，直線y=x+1與y軸交于點A₁，以O(shè)A₁為邊作正方形OA₁B₁C₁，然后延長C₁B₁與直線y=x+1交于點A₂，得到第一個梯形A₁OC₁A₂；再以C₁A₂為邊作正方形C₁A₂B₂C₂，同樣延長C₂B₂與直線y=x+1交于點A₃得到第二個梯形A₂C₁C₂A₃；再以C₂A₃為邊作正方形C₂A₃B₃C₃，延長C₃B₃，得到第三個梯形；…則第2個梯形A₂C₁C₂A₃的面積是

 

；第n（n是正整數(shù)）個梯形的面積是

 

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：此題中首先要求出A₁、A₂、A_3^…的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，然后根據(jù)它們的特點來得到A點坐標(biāo)的一般化規(guī)律，進(jìn)而根據(jù)規(guī)律來求得A_n的坐標(biāo)．再依次表示出梯形A₁OC₁A₂；第2個梯形A₂C₁C₂A₃；第3個梯形的面積；第4個梯形的面積；找到規(guī)律進(jìn)而求出第n（n是正整數(shù)）個梯形的面積．

解答：解：由直線y=x+1知：A₁（0，1），即OA₁=A₁B₁=1，
∴A₂的坐標(biāo)為（1，2）或（2¹-1，2^2-1）；
∵A₂的坐標(biāo)為：（1，2），即A₂C₁=2，
∴A₃的坐標(biāo)為：（1+2，4），即（3，4）或（2²-1，2²）；
∴S_{梯形A2C1C2A3}=

(2+4)×2

2

=6．
∵A₃的坐標(biāo)為：（3，4），即A₃C₂=4，
∴的A₄坐標(biāo)為：（1+2+4，8），即（7，8）或（2³-1，2³）；
依此類推，點A_n的坐標(biāo)應(yīng)該為（2^n-1-1，2^n-1）．
∴S_{第n（n是正整數(shù)）個梯形}=

(2 n-1+2 n)2 n-1

2

．
故答案為6，

(2 n-1+2 n)2 n-1

2

．

點評：一次函數(shù)與幾何圖形（直角梯形）的面積問題．解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時，后一個圖形與前一個圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論．