Question

如圖，四邊形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點(diǎn)E．
（1）求證：AB•AF=CB•CD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射線DE上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)DP=xcm（x＞0）．當(dāng)x為何值時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最�。�

Answer 1

（1）證明：∵∠DAB=90°，
∴∠DAF+∠BAC=90°．
∵DF⊥AC，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAC=∠ADF，
又∵∠DFA=∠ACB，
∴△DFA∽△ACB．
∴．
∴AF•AB=BC•AD．
∵AD=CD，
∴AB•AF=CB•CD．

（2）解：C_△PBC=PB+PC+BC，
∵AD=CD，DF⊥AC，
∴DE是AC的垂直平分線．
∴PC=PA根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，PA+PB最小即點(diǎn)P與E重合時(shí)，△PBC周長(zhǎng)最�。�
∵∠ACB=90°，
∴．
∴．
∵AF•AB=CB•AD，即6×15=9•AD，
∴AD=10．
∵FE是△ABC中位線，
∴．
∴DE==12.5．
∴x=12.5時(shí)，△PBC周長(zhǎng)最小．
分析：（1）根據(jù)已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB，從而利用有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，得到△DFA∽△ACB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例及AD=CD即可推出AB•AF=CB•CD；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，PA+PB最小即點(diǎn)P與E重合時(shí)，△PBC周長(zhǎng)最小，從而利用勾股定理分別求得AC、AF、AE、DE的長(zhǎng)，從而就求得了x的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定及線段最短問(wèn)題的理解及運(yùn)用．