Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點F在BA的延長線上，以AF為邊作正方形ADEF，連接EB，點M為EB的中點，連接DM并延長交AB于N，連接CM．
（1）若BN=2，AC=3

2

，求BE的長；
（2）求證：CM=

1

2

DN．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形,正方形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）由M為EB的中點，得到EM=BM，根據(jù)ED與AB平行，得到兩對內(nèi)錯角相等，利用AAS得到三角形DEM與三角形MNB全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到DE=BN，再由正方形ADEF，得到EF=AF=BN=2，根據(jù)三角形ABC為等腰直角三角形，由AC求出AB的長，再由FA+AB求出FB的長，在直角三角形BEF中，利用勾股定理即可求出BE的長；
（2）連接CD，CN，根據(jù)NB=AD，BC=AC，且夾角都為45°，利用SAS得到三角形ACD與三角形BCN全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到CD=CN，對應(yīng)角相等得到∠ACD=∠BCN，利用等式的性質(zhì)得到∠DCN為直角，即三角形DCN為等腰直角三角形，根據(jù)M為DN的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證．

解答：（1）解：∵M為EB的中點，
∴EM=BM，
∵四邊形ADEF為正方形，
∴ED∥BN，AD=AF=EF=ED，
∴∠DEM=∠NBM，∠EDM=∠BNM，
在△DEM和△NBM中，

∠DEM=∠NBM ∠EDM=∠BNM EM=BM

，
∴△DEM≌△NBM（AAS），
∴DM=NM，ED=BN=2，
∵△ABC為等腰直角三角形，AC=3

2

，
∴AB=

2

AC=6，
在Rt△EFB中，EF=2，F(xiàn)B=FA+AB=2+6=8，
根據(jù)勾股定理得：BE=

EF2+FB2

=2

17

；
（2）證明：連接CD，CN，
∵△ABC為等腰直角三角形，且∠DAB=90°，
∴∠DAC=∠NBC=45°，
在△ADC和△BNC中，

AC=BC ∠DAC=∠NBC AD=BN

，
∴△ADC≌△BNC（SAS），
∴∠ACD=∠BCN，
∵∠ACN+∠BCN=90°，
∴∠ACN+∠ACD=90°，即∠DCN=90°，
∵M為DN的中點，即CM為斜邊DN上的中線，
∴CM=

1

2

DN．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．