Question

已知正整數(shù)m，n都是質(zhì)數(shù)，并且7m+n，mn+11也是質(zhì)數(shù)，試求（mⁿ）ⁿ+（n^m）^m的值．

Answer 1

∵mn+11為質(zhì)數(shù)，且mn+11＞11，
∴mn+11為奇質(zhì)數(shù)，
故mn為偶數(shù)，又m，n為質(zhì)數(shù)，所以m，n中至少有一個為2．（5分）
（1）當(dāng)m=n=2時，mn+11=15不為質(zhì)數(shù)，矛盾．（10分）
（2）當(dāng)m=2，n≠2時，由n+14，2n+11均為質(zhì)數(shù)可知n=3，
否則，當(dāng)n=3k+1（k為正整數(shù)）時，n+14=3k+15=3（k+5）為合數(shù)，矛盾；
當(dāng)n=3k+2時，2n+11=6k+15=3（2k+5）為合數(shù)，矛盾；
故n=3，此時，mn+11=17，7m+n=17均為質(zhì)數(shù)，符合題意．（15分）
（3）當(dāng)n=2時，mn+11=2m+11，7m+n=7m+2，它們均為質(zhì)數(shù)，此時必有m=3，
否則令m=3k+1，mn+11=6k+12=6（k+2）為合數(shù)，矛盾；
令m=3k+2，7m+n=21k+9=3（7k+3）為合數(shù)，矛盾；
故m=3．（20分）
所以（m，n）=（2，3），（3，2）．
所以（mⁿ）ⁿ+（n^m）^m=593．（25分）
故答案為：593．