Question

已知在正方形ABCD中，△BEF為等腰直角三角形，∠E=90°，G為DF的中點，求證：CG⊥EG且CG=EG．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,等腰直角三角形

專題：證明題

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得出∠BDC=45°，由直角三角形的性質(zhì)就看由得出EG=CG=

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DF，EG=DG=CG，就可以求出∠GED=∠GDE，∠GDC=∠GCD，根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系就可以得出∠EGC=90°，從而求出結(jié)論．

解答：證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，∠BCD=90°．
∵∠DEF=90°，G為DF的中點，
∴EG=DG=

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DF，CG=DG=

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DF．
∴EG=CG，∠GED=∠GDE，∠GDC=∠GCD．
∵∠FGE=∠GED+∠GDE，∠FGC=∠GCD+∠GDC，
∴∠FGE=2∠GDE，∠FGC=2∠GDC，
∴∠FGE+∠FGC=2（∠GDE+∠GDC）．
∵∠GDE+∠GDC=∠BDC=45°，
∴∠FGE+∠FGC=90°．
∴∠EGC=90°，
∴CG⊥EG．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系的運用，垂直的判定的運用，解答時根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．