Question

【題目】探究：如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且．

（1）如果將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．請(qǐng)你畫出圖形（旋轉(zhuǎn)后的輔助線）．你能夠得出關(guān)于，，的一個(gè)結(jié)論是________．

（2）如果點(diǎn)，分別運(yùn)動(dòng)到，的延長(zhǎng)線上，如圖，請(qǐng)你能夠得出關(guān)于，，的一個(gè)結(jié)論是________．

（3）變式：如圖，將題目改為“在四邊形中，，且，點(diǎn)，分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且”，請(qǐng)你猜想關(guān)于，，有什么關(guān)系？并驗(yàn)證你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）EF=BE+DF，畫圖如圖所示；（2）BE= DF+EF；（3）EF=BE+DF，理由見解析

【解析】

（1）畫出圖形，證明△AEF≌△AEF′，得到EF=EF′，根據(jù)EF′=BE+BF′=BE+DF得到結(jié)果；

（2）將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，證明△AEF≌△AEF′，得到EF=EF′，從而可說明BE= DF+EF；

（3）將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，證明∠ABF′+∠ABE=180°，說明F′、B、E三點(diǎn)共線，再證明△AEF≌△AEF′，得出EF=EF′，從而可說明EF=BE+DF.

解：（1）畫圖如圖所示，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F′，AD與AB重合，

∵∠EAF=45°，

∴∠EAF′=∠EAF=45°，

在△AEF和△AEF′中，

,

∴△AEF≌△AEF′（SAS），

∴EF=EF′，

又∵EF′=BE+BF′=BE+DF，

∴EF=BE+DF，

故答案為：EF=BE+DF；

（2）將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F′，AD與AB重合，

∵∠EAF=45°，

∴∠F′AE=45°，AF=AF′，

在△AEF和△AEF′中，

，

∴△AEF≌△AEF′（SAS），

∴EF=EF′，

而DF=BF′，

∴BE=BF′+EF′=DF+EF，

故答案為：BE= DF+EF；

（3）EF=BE+DF，

理由是：如圖，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，

則△ADF≌△ABF′，

∴∠BAF′=∠DAF，AF=AF′，BF′=DF，∠ABF′=∠D，

又∵∠EAF=∠BAD，

∴∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAF′，

∴∠EAF=∠EAF′，

又∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠ABF′+∠ABE=180°，

∴F′、B、E三點(diǎn)共線，

在△AEF和△AEF′中，

，

∴△AEF≌△AEF′（SAS），

∴EF=EF′，

又∵EF′=BE+BF′=BE+DF，

∴EF=BE+DF.