Question

已知正n邊形共有n條對(duì)角線(xiàn)，它的周長(zhǎng)等于p，所有對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的和等于q，求的值．

Answer 1

解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n．
根據(jù)題意得：n•（n-3）=n，
解得：n=5．
則多邊形的邊數(shù)是5．

作正五邊形ABCDE，連接AD；
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠ABC=∠BAE==108°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB==36°，
同理可知，∠AED=108°，AB=BC=AE=DE，
∴△ABC≌△AED，AC=AD；
∵∠BAC=∠DAE=36°，∠BAE=108°，
∴∠CAD=108°-36°-36°=36°，
∴∠ACD=∠ADC=72°；
作∠ACD的平分線(xiàn)，交AD于F，根據(jù)題意，∠CAD=36°，∠ACD=∠ADC=72°；
∴∠ACF=∠FCD=36°，AF=CF=CD，
∴△FCD∽△CAD，
∵正n邊形共的周長(zhǎng)等于p，所有對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的和等于q，
∴CD=，AC=則=，即=，
∴=，
=-1，即=1．
故的值為1．
分析：n邊形的對(duì)角線(xiàn)有n•（n-3）條，根據(jù)正n邊形共有n條對(duì)角線(xiàn)，列方程即可求得多邊形的邊數(shù)為5．再作正五邊形ABCDE，連接AD，根據(jù)正五邊形的特點(diǎn)求出△ABC≌△AED，△ACD為等腰三角形，作∠ACD的平分線(xiàn)，交AD于F；根據(jù)△ACD與△CDF各角的度數(shù)可求出△FCD∽△CAD，根據(jù)其對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了多邊形的對(duì)角線(xiàn)與邊的關(guān)系和正五邊形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知正五邊形的特點(diǎn)，及全等、相似三角形的判定定理及性質(zhì)，作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出相應(yīng)的三角形．