Question

小明和同桌小聰在課后預(yù)習(xí)時(shí)，對(duì)課本中的一道思考題，進(jìn)行了認(rèn)真的探索：

如圖1，一架5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時(shí)B到墻底端C的距離為3米．如果梯子的頂端沿墻下滑2米，那么點(diǎn)B將向外移動(dòng)幾米？
（1）請(qǐng)你將小明對(duì)“思考題”的解答補(bǔ)充完整：
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB²=AC²+BC²，即5²=AC²+3²
∴AC=

 

．
∵AA1=2，
∴A1C=

 

．
在Rt△A₁B₁C中，由勾股定理得A₁B₁²=A₁C²+B₁C²，
∴B₁C=

 

．
∴點(diǎn)B將向外移動(dòng)

 

 米．
（2）解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個(gè)問題，請(qǐng)你解答：
①如圖1，在“思考題”中，梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離，有可能相等嗎？為什么？
②若某人站在梯子的正中間P處（即梯子AB的中點(diǎn)），試問在梯子下滑過程中，請(qǐng)你在備用圖中畫出此人移動(dòng)的路程（即點(diǎn)P移動(dòng)的軌跡），并求出這個(gè)路程．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用

專題：

分析：（1）直接把數(shù)值代入計(jì)算即可；
（2）①設(shè)梯子頂端從A處下滑x米，點(diǎn)B向外也移動(dòng)x米，根據(jù)題意列出方程，解這個(gè)方程即可；
②此人移動(dòng)的路程（即點(diǎn)P移動(dòng)的軌跡）是半徑為

5

2

，與墻面和地面相切的圓的

1

4

，所以結(jié)果為

5

4

π．

解答：解：（1）由5²=AC²+3²
可知AC=

52-32

=4，
A₁C=AC-AA₁=4-2=2，
由勾股定理得A₁B₁²=A₁C²+B₁C²，
∴B₁C=

A1B12-B 1C2

=

52-22

=

21

∴點(diǎn)B將向外移動(dòng)BB₁=

21

-3；
（2）①有可能．
設(shè)梯子頂端從A處下滑x米，點(diǎn)B向外也移動(dòng)x米，
則有（x+3）²+（4-x）²=5²，
解得：x₁=1或x₂=0（舍）
∴當(dāng)梯子頂端從A處下滑1米時(shí)，點(diǎn)B向外也移動(dòng)1米，即梯子頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離有可能相等．

②如圖2，此人移動(dòng)的路程（即點(diǎn)P移動(dòng)的軌跡）是半徑為

5

2

，與墻面和地面相切的圓的

1

4

，
即

5

4

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用及一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出關(guān)于x的一元二次方程是解答此題的關(guān)鍵．