Question

如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，G分別是AB、CD的中點，點F在邊BC上，且BF=

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（AD+BC）
（1）求證：四邊形AEFG是平行四邊形；
（2）聯(lián)結(jié)AF，若AG平分∠FAD，求證：四邊形AEFG是矩形．

Answer 1

考點：矩形的判定,平行四邊形的判定,梯形

專題：

分析：（1）如圖，連接EG．利用梯形中位線定理證得四邊形EGFB是平行四邊形；然后根據(jù)已知條件推知四邊形AEFG的對邊EA=GF且EA∥GF，易證四邊形AEFG是平行四邊形；
（2）連接AF，根據(jù)已知條件推知?AEFG中的AO=GO；然后證得?AEFG的對角線AF=AG即可．

解答： （1）證明：如圖，連接EG．
∵四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，E、G分別是AB、CD的中點，
∴EG=

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（AD+BC），EG∥AD∥BC．
∵BF=

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（AD+BC），
BF=EG．
∴四邊形EGFB是平行四邊形．
∴EB=FG且EB∥FG．
∵E是AB的中點，
∴AE=DBE．
∴EA=GF且EA∥GF．
∴四邊形AEFG是平行四邊形．

（2）證明：連接AF，將EGAFG的交點記為點O．
∵AG平分∠FAD，
∴∠DAG=∠GAF．
∵EG∥AD，
∴∠DAG=∠AGE，
∴∠FAG=∠AGE．
∴AO=GO．
∵四邊形AEFG是平行四邊形，
∴GO=

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EG，AO=

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AF．
∴AF=EG，
∴平行四邊形AEFG是矩形．

點評：本題考查了矩形的判定，正方形的判定與性質(zhì)以及梯形的中位線定理．注意，在推知四邊形AEFG是矩形時，必須先說明四邊形AEFG是平行四邊形．