Question

如圖，在△ABC中，∠1=∠2，∠C＞∠B，E為AD上一點，且EF⊥BC于F．
（1）試探索∠DEF與∠B、∠C的等量關系；
（2）如圖所示，當點E在AD的延長線上時，其他條件都不變，你在（1）中探索得到的結論是否成立并說明理由．

Answer 1

考點：三角形內角和定理,三角形的外角性質

專題：

分析：（1）過點A作AG⊥BC于點G，則EF∥AG，故∠DEF=∠DAG，根據直角三角形的性質可知∠CAG=90°-∠C，再由三角形內角和定理可知∠BAC=180°-∠B-∠C，根據∠1=∠2可知，∠2=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C），再根據∠DAG=∠2-∠CAG即可得出結論；
（2）過點A作AH⊥BC于H，根據直角三角形兩銳角互余表示出∠CAH，根據角平分線的定義可得∠2，再表示出∠DAH，然后根據三角形的內角和定理可得∠DEF=∠DAH．

解答：（1）解：如圖1所示，過點A作AG⊥BC于點G，則EF∥AG，∠DEF=∠DAG，
∵∠AGC=90°，
∴∠CAG=90°-∠C．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠2=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）=90°-

1

2

（∠B+∠C）．
∵∠DAG=∠2-∠CAG=90°-

1

2

（∠B+∠C）-（90°-∠C）
=

1

2

（∠C-∠B），即∠DEF=

1

2

（∠C-∠B）；

（2）解：如圖2所示，過點A作AH⊥BC于H，
則∠CAH=90°-∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠2=

1

2

（180°-∠B-∠C），
∴∠DAH=∠2-∠CAH=

1

2

（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=

1

2

（∠C-∠B），
∵EF⊥BC，
∴∠DEF+∠EDF=90°，
又∵∠DAH+∠ADH=90°，∠EDF=∠ADH（對頂角相等），
∴∠DEF=∠DAH，
∴∠DEF=

1

2

（∠C-∠B）．

點評：本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵．