Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD=CB，延長CD交BA的延長線于點E．

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）求證：∠C=2∠DBE．

（3）若EA=AO=2，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

（1）證明：連接OD，

∵BC是⊙O的切線，∴∠ABC=90°， 

∵CD=CB， ∴∠CBD=∠CDB，

∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD， 

∵點D在⊙O上，  ∴CD為⊙O的切線．

（2）如圖，∠DOE=∠ODB+∠OBD=2∠DBE，分

由（1）得：OD⊥EC于點D，∴∠E+∠C=∠E+∠DOE＝90°, ∴∠C=∠DOE＝2∠DBE．

（3）作OF⊥DB于點F,連接AD，

由EA=AO可得：AD是Rt△ODE斜邊的中線，

∴AD=AO=OD,∴∠DOA=60°，∴∠OBD=30°， 

又∵OB=AO=2，OF⊥BD，∴ OF=1，BF=，

∴BD=2BF=2，∠BOD=180°-∠DOA =120°， 

∴．…12分

注：此大題解法不唯一，請參照給分．