Question

如圖，已知PA、PB切⊙O于A、B兩點，連AB，且PA，PB的長是方程x²-2mx+3=0的兩根，AB=m．試求：
（1）⊙O的半徑；
（2）由PA，PB，圍成圖形（即陰影部分）的面積．

Answer 1

【答案】分析：用切線的性質及根的判別式求出m的值即AB的長，代入原方程得出兩根即PA、PB的長，因AB=PA=PB，△ABP為等邊三角形，∠APB=60°，則∠APO=30°，再用正切公式求出OA的長及圓的半徑．用正切求出OP的長，四邊形的度數和求出∠AOB的度數，再求出△AOB和△APB的面積和，減去扇形OAB的面積即為所求．
解答：解：（1）連OA，OB，
∵PA=PB，（1分）
∴△=（-2m）²-4×3=0，
∴m²=3，m＞0，
∴m=，
∴x²-2x+3=0，
∴x₁=x₂=，
∴PA=PB=AB=，
∴△ABP等邊三角形，
∴∠APB=60°，（3分）
∴∠APO=30°，
∵PA=，
∴OA=1；（4分）

（2）∵∠AOP=60°，
∴∠AOB=120°，
S_陰=S_{四邊形OAPB}-S_扇形OAB
=2S_△AOP-S_扇形OAB
=2××1×-，
=-π．（8分）
點評：考查根的判別式，切線的性質，定理及組合圖形面積．