Question

22、如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B作BE⊥l于E，過點(diǎn)C作CF⊥l于F．
（1）求證：EF=BE+CF；
（2）將直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，其它條件不變，EF=BE+CF仍然成立嗎？如果不成立，線段EF、BE、CF又有怎樣的關(guān)系？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題可通過全等三角形來實現(xiàn)相等線段之間的轉(zhuǎn)換來得出結(jié)論；
（2）應(yīng)該是EF=CF-BE，證明方法也是通過證明三角形ABE和ACF全等將相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換來得出結(jié)論的．

解答：證明：（1）∵BE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB=∠CFA=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°．
∴∠EBA=∠CAF．
在△AEB和△CFA中
∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△AEB≌△CFA．
∴AE=CF，BE=AF．
∴AE+AF=BE+CF．
即EF=BE+CF．

解：（2）EF=BE+CF不成立．EF=CF-BE，
理由如下，∵BE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB=∠CFA=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°．
∴∠EBA=∠CAF．
在△AEB和△CFA中
∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△AEB≌△CFA．
∴AE=CF，BE=AF．
∴AE+AF=BE+CF．
即EF=CF-BE．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，通過全等三角形來將相等線段進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．