Question

正方形ABCD中，將一個直角三角板的直角頂點與點A重合，一條直角邊與邊BC交于點E（點E不與點B和點C重合），另一條直角邊與邊CD的延長線交于點F.

（1）如圖①，求證：AE=AF;

（2）如圖②，此直角三角板有一個角是45°，它的斜邊MN與邊CD交于G，且點G是斜邊MN的中點，連接EG，求證：EG=BE+DG;

（3）在（2）的條件下，如果= ，那么點G是否一定是邊CD的中點?請說明你的理由.

 

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ADF=90°，進而得出△ABE≌△ADF，即可得出AE=AF；

（2）連接AG，利用全等三角形的判定得出△AEG≌△AFG（SAS），進而得出EG=BE+DG；

（3）首先設(shè)AB=5k，GF=6k，再假設(shè)BE=x，則CE=6k-x，EG=5k，得出CF=CD+DF=6k+x，CG=CF-GF=6k+x-5k=k+x，進而利用勾股定理得出x的值，進而比較得出答案．

試題解析：（1）正方形ABCD中，AB=AD，

∠ABC=∠ADC=∠BAD= 90°

∴∠ABC=∠ADF=90°,

∵∠EAF=90°∴∠BAE=∠DAF

∴≌,

∴AE=AF

（2）連接AG，

∵點G是斜邊MN的中點，

∴∠EAG=∠FAG=45°

AG=AG,則≌

∴EG=GF

∴EG=DG+DF

∵BE=DF

∴EG=BE+DG

（3）設(shè)，，

設(shè)，則，,

∴中，

∴ 即

解得

∴或

兩種情況都成立，

∴點G不一定是邊CD的中點.

考點：正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理