Question

如圖，在正方形ABCD中，P、Q分別為BC、CD邊上的點，且∠PAQ=45°，求證：PQ=PB+DQ．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：將△ADQ繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，然后求出∠EAP=∠PAQ=45°，再利用“邊角邊”證明△APE和△APQ全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PQ=PE，再根據(jù)PE=PB+BE等量代換即可得證．

解答：證明：如圖，將△ADQ繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，
∵∠PAQ=45°，
∴∠EAP=∠PAQ=45°，
在△APE和△APQ中，

AE=AQ ∠EAP=∠PAQ=45° AP=AP

，
∴△APE≌△APQ（SAS），
∴PQ=PE，
∵PE=PB+BE，
∴PQ=PB+DQ．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．