Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD垂直平分半徑OB于H，過C點的弦CF交AB于E，且∠CEH=45°，CE=2

6

，
（1）求⊙O的半徑長；     
（2）求AF的長．

Answer 1

考點：垂徑定理,圓周角定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）連接OC，求出CE，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）連接BC，求出BC，證三角形相似，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）連接OC，
設OC=2a，則OH=BH=a，
∵CD⊥AB，
∴∠CHE=90°，
∵∠CEH=45°，CE=2

6

，
∴CH=CE•sin45°=2

3

，EH=CE•cos45°=2

3

，
在Rt△CHO中，a²+（2

3

）²=（2a）²，
a=2，
OC=OB=2a=4，
即⊙O的半徑是4．

（2）連接BC，
OH=BH=2，
在Rt△CHB中，由勾股定理得：BC=

22+(2 3 )2

=4，
∵∠AEF=∠CEB，∠F=∠ABC，
∴△AFE∽△CBE，
∴

AE

EB

=

AF

BC

，
∴

4-(2 3 -2)

2+2 3

=

AF

4

，
AF=4

3

-6．

點評：本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形相似的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．