Question

對于每個非零自然數(shù)n，拋物線y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸交A_n、B_n兩點，以A_nB_n表示這兩點間的距離，求A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₁B₂₀₁₁+A₂₀₁₂B₂₀₁₂的值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：計算題,規(guī)律型

分析：當n=1時，y=x²-

3

2

+

1

2

，設y=x²-

3

2

+

1

2

的兩根式a，b，則a+b=

3

2

，ab=

1

2

，A₁B₁=

1

2

=1-

1

2

，同法求出當n=2時，A₂B₂=

1

6

=

1

2

-

1

3

，當n=3 時，A₃B₃=

1

12

=

1

3

-

1

4

，當n=2012時，A₂₀₁₂B₂₀₁₂=

1

2013

×

1

2014

=

1

2013

-

1

2014

，相加即可求出答案．

解答：解：當n=1時，y=x²-

3

2

+

1

2

，設y=x²-

3

2

+

1

2

的兩根式a，b，則
a+b=

3

2

，ab=

1

2

，A₁B₁=

(a-b)2

=

(a+b)2-4ab

=

1

2

=1-

1

2

．
當n=2時，A₂B₂=

1

6

=

1

2

-

1

3

．
當n=3 時，A₃B₃=

1

12

=

1

3

-

1

4

．
…
當n=2012時，A₂₀₁₂B₂₀₁₂=

1

2012

×

1

2013

=

1

2012

-

1

2013

．
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₁B₂₀₁₁|=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

4

+…+

1

2012

-

1

2013

=1-

1

2013

=

2012

2013

．

點評：本題主要考查對拋物線與x軸的交點，根與系數(shù)的關系，完全平方公式等知識點的理解和掌握，能根據(jù)所得的數(shù)據(jù)找出規(guī)律是解此題的關鍵．