Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），經(jīng)過點(diǎn)的直線：與軸交于點(diǎn)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，且．

（1）直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并用含的式子表示直線的函數(shù)表達(dá)式（其中、用含的式子表示）．

（2）點(diǎn)為直線下方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)的面積的最大值為時(shí)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）設(shè)點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形能否為矩形？若能，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】

（1）令二次函數(shù)解析式為0，解一元二次方程即可得A、B的坐標(biāo)，作DF⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)平行線分線段定理可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后代入即可求一次函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)E作EH∥y軸，交直線l于點(diǎn)H，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，則點(diǎn)H的坐標(biāo)也可表示，HE即可求出，根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的交點(diǎn)可求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，然后再根據(jù)已知條件三角形ADE的面積最大時(shí)求出a的值，二次函數(shù)解析式即可求出；

（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)分兩種情況討論：①若AD為矩形的邊，且點(diǎn)Q在對稱軸左側(cè)時(shí)②若AD為矩形的邊，且點(diǎn)Q在對稱軸右側(cè)時(shí)，求出即可.

解：（1）令，則，

解得，

∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∴，

如圖1，作軸于，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，

代入得，，

∴，

把、坐標(biāo)代入得，

解得，

∴直線的函數(shù)表達(dá)式為.

（2）如圖2，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，

設(shè)，則.

∴，

由得或，

即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，

∴ .

∴的面積的最大值為，

∴，

解得：.

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.

（3）已知，.

∵，

∴拋物線的對稱軸為，

設(shè)，

①若為矩形的邊，且點(diǎn)在對稱軸左側(cè)時(shí)，則，且，

則，

，則，

∵四邊形為矩形，

∴，

∴，

∴ ，

即，

∵，

∴，

∴，

②若為矩形的邊，且點(diǎn)在對稱軸右側(cè)時(shí)，則，且，

則，

此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，舍去；

③若是矩形的一條對角線，則與互相平分且相等.

，，

∴，

∴.

∴

∴.

∵四邊形為矩形，

∴

∴

∴

即，

∵，

∴

∴

綜上所述，以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.