Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O是正方形ABCD兩對角線的交點(diǎn)，分別延長OD到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．

(1)、求證：DE⊥AG；

(2)、如圖2，正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°），得到正方形OE′F′G′；

①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠OAG′是直角時(shí)，求α的度數(shù)；

②若正方形ABCD的邊長為2，在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF′長的最大值和此時(shí)α的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、①、α=30°或150°；②、最大值為4+，α=315°.

【解析】

試題分析：(1)、延長ED交AG于點(diǎn)H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出△AOG和△DOE全等，從而得出∠AGO=∠DEO，

根據(jù)∠AGO+∠GAO=90°得出∠GAO+∠DEO=90°，即得出垂直；(2)、①、根據(jù)∠OAG′=90°和∠OAG′=90°兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算；②當(dāng)α=315°時(shí)， A、O、F′在一條直線上時(shí)，AF′的長最大，最大值為4+.

試題解析：(1)、延長ED交AG于點(diǎn)H， ∵點(diǎn)O是正方形ABCD兩對角線的交點(diǎn)，∴OA=OD，OA⊥OD

在△AOG和△DOE中 ∴△AOG≌△DOE ∴∠AGO=∠DEO，

∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠GAO+∠DEO=90°，∴∠AHE=90°即DE⊥AG

(2)、①在旋轉(zhuǎn)過程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：

(I)：α由0°增大到90°過程中，當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，

∵OA=OD=OG=OG′，∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，∴∠AG′O=30°，

∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′，∴∠DOG′=∠AG′O=30°，即α=30°；

(II)：α由90°增大到180°過程中，當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，

同理可求∠BOG′=30°，∴α=180°﹣30°=150°．

綜上所述，當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，α=30°或150°．

②當(dāng)α=315°時(shí)， A、O、F′在一條直線上時(shí)，AF′的長最大，最大值為4+，α=315°．