Question

如圖，P為邊長(zhǎng)為2的正三角形中任意一點(diǎn)，連接PA、PB、P C，過(guò)P點(diǎn)分別做三邊的垂線，垂足分別為D、E、F，則PD+PE+PF=________；陰影部分的面積為_(kāi)_______．

Answer 1

    
分析：（1）求出等邊三角形的高，再根據(jù)△ABC的面積等于△PAB、△PBC、△PAC三個(gè)三角形面積的和，列式并整理即可得到PD+PE+PF等于三角形的高；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)P為三角形的中心時(shí)，陰影部分的面積等于三角形面積的一半，求出△ABC的面積，即可得到陰影部分的面積．
解答：（1）∵正三角形的邊長(zhǎng)為2，
∴高為2×sin60°=，
∴S_△ABC=×2×=，
∵PD、PE、PF分別為BC、AC、AB邊上的高，
∴S_△PBC=BC•PD，S_△PAC=AC•PE，S_△PAB=AB•PF，
∵AB=BC=AC，
∴S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=BC•PD+AC•PE+AB•PF=×2（PD+PE+PF）=PD+PE+PF，
∵S_△ABC=S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB，
∴PD+PE+PF=；
（2）∵點(diǎn)P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)P是△ABC的中心時(shí)，陰影部分的面積等于△ABC面積的一半，
即陰影部分的面積為S_△ABC=．
故答案為：，．
點(diǎn)評(píng)：本題主要利用等邊三角形三邊相等的性質(zhì)和三角形的面積等于被分成的三個(gè)三角形的面積的和求解；第二問(wèn)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問(wèn)題中由一般到特殊的解題思想．