Question

某班甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的課題學(xué)習(xí)活動(dòng)．
活動(dòng)情境：
如圖2，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊（折痕EG分別與AB、DC交于點(diǎn)E、G），使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) F處，F(xiàn)N與DC交于點(diǎn)M處，連接BF與EG交于點(diǎn)P．
所得結(jié)論：
當(dāng)點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合時(shí)：（如圖1）甲、乙、丙三位同學(xué)各得到如下一個(gè)正確結(jié)論（或結(jié)果）：
甲：△AEF的邊AE=

 

cm，EF=

 

cm；
乙：△FDM的周長(zhǎng)為16cm；
丙：EG=BF．
你的任務(wù)：
（1）填充甲同學(xué)所得結(jié)果中的數(shù)據(jù)；
（2）寫(xiě)出在乙同學(xué)所得結(jié)果的求解過(guò)程；
（3）當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上除點(diǎn)A、D外的任何一處（如圖2）時(shí)：
①試問(wèn)乙同學(xué)的結(jié)果是否發(fā)生變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
②丙同學(xué)的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由，若你認(rèn)為成立，先證明EG=BF，再求出S（S為四邊形AEGD的面積）與x（AF=x）的函數(shù)關(guān)系式，并問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，S最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可設(shè)AE=x，則EF=8-x，利用勾股定理即可求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出EF的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可得到∠MFE=90°，由相似三角形的判定定理可得出△AEF∽△DFM，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出△FMD各邊的長(zhǎng)，進(jìn)而求出其周長(zhǎng)；
（3）①設(shè)AF=x，利用勾股定理可得出AE=4-

1

16

x2，同理可知△AEF∽△DFM，再由相似三角形的性質(zhì)可得出△FMD的周長(zhǎng)，由正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理可知△AFB≌△KEG，進(jìn)而可得出四邊形AEGD的面積，由其面積表達(dá)式即可求出其面積的最大值．

解答：解：（1）AE=3cm，EF=5cm；
設(shè)AE=x，則EF=8-x，AF=4，∠A=90°，4²+x²=（8-x）²，x=3，
∴AE=3cm，EF=5cm；

（2）如答圖1，∵∠MFE=90°，
∴∠DFM+∠AFE=90°，
又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，
∴△AEF∽△DFM，
∴

EF

FM

=

AE

DF

=

AF

DM

，
又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5
∴

5

FM

=

3

4

，FM=

20

3

，

3

4

=

4

DM

，DM=

16

3

，
∴△FMD的周長(zhǎng)=4+

20

3

+

16

3

=16；

（3）①乙的結(jié)果不會(huì)發(fā)生變化
理由：如答圖2，設(shè)AF=x，EF=8-AE，x²+AE²=（8-AE）²，
∴AE=4-

1

16

x2，
同上述方法可得△AEF∽△DFM，C_△AEF=x+8，F(xiàn)D=8-x，
則

C△FMD

C△AEF

=

FD

AE

，C△FMD=

(8-x)(8+x)

4- 1 16 x2

=16
②丙同學(xué)的結(jié)論還成立．
證明：如答圖2，
∵B、F關(guān)于GE對(duì)稱(chēng)，
∴BF⊥EG于P，過(guò)G作GK⊥AB于K，
∴∠FBE=∠KGE，
在正方形ABCD中，GK=BC=AB，∠A=∠EKG=90°，
∴△AFB≌△KEG，
∴BF=EG．
由上述可知AE=4-

1

16

x2，△AFB≌△KEG，
∴AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=4-

1

16

x2+x，
S=

AE+DG

2

×8=0.5×8（AE+AK）
=4×（4-

1

16

x2+4-

1

16

x2+x）=-

1

2

x2+4x+32
S=-

1

2

(x-4)2+40，（0＜x＜8）
當(dāng)x=4，即F與AD的中點(diǎn)重合時(shí)S_最大，S_最大=40．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、圖形翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，涉及面較廣，難度適中．