Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，﹣3）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式和∠ABC的度數(shù)；
（3）在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使△ABP∽△CBA？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點(diǎn)A的坐標(biāo)（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，﹣3）代入拋物線解析式得：

，

解得： ，

故拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：由（1）得：0=x2﹣2x﹣3，

解得：x1=﹣1，x2=3，故B點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，0），

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+d，

則 ，

解得： ，

故直線BC的解析式為：y=x﹣3，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴BO=OC=3，

∴∠ABC=45°

（3）

解：存在一點(diǎn)P，使△ABP∽△CBA

連接AP、AC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵△ABP∽△CBA，

∴ = ，

∵BO=OC=3，

∴BC=3 ，

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB=4，

∴ = ，

解得：BP= ，

由題意可得：PD∥OC，

∴DB=DP= ，

∴OD=3﹣ = ，

則P（ ，﹣ ）

【解析】（1）直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；（2）首先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再求∠ABC的度數(shù)；（3）利用相似三角形的性質(zhì)得出BP的長(zhǎng)，再求出OD的長(zhǎng)進(jìn)而得出答案．