Question

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=4,OC=2．點P從點O出發(fā),沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動,當(dāng)點P到達點A時停止運動,設(shè)點P運動的時間是t秒．將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得點D,點D隨點P的運動而運動,連接DP、DA．

（1）請用含t的代數(shù)式表示出點D的坐標(biāo)；
（2）求t為何值時,△DPA的面積最大,最大為多少？
（3）在點P從O向A運動的過程中,△DPA能否成為直角三角形？若能,求t的值．
若不能,請說明理由；
（4）請直接寫出隨著點P的運動,點D運動路線的長．

Answer 1

（1）D坐標(biāo)為（t+1,）；（2）當(dāng)t=2時,△DPA的面積最大,最大值為1；（3）經(jīng)過2秒或3秒時,△PAD是直角三角形；(4)點D運動路線的長為．

試題分析：（1）設(shè)出P點坐標(biāo),再求出CP的中點坐標(biāo),根據(jù)相似的性質(zhì)即可求出D點坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意求出△DPA的面積,分析函數(shù)解析式求出最值；
（3）先判斷出可能為直角的角,再根據(jù)勾股定理求解；
（4）根據(jù)點D的運動路線與OB平行且相等解答即可．
試題解析：（1）∵點P從點O出發(fā),沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動,
∴OP=t,而OC=2,
∴P（t,0）,
設(shè)CP的中點為F,則F點的坐標(biāo)為（,1）,
∴將線段CP的中點F繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得點D,其坐標(biāo)為（t+1,）；
（2）S=  
∴當(dāng)t=2時,S最大,最大值為1
（3）∵∠CPD=90⁰,∴∠DPA+∠CPO=90⁰,∴∠DPA≠90⁰,故有以下兩種情況：
①當(dāng)∠PDA=90⁰時,由勾股定理得,
又,,
, 
即,解得（不合題意,舍去）
②當(dāng)∠PAD=90⁰時,點D在BA上,故AE=3－t,得t=3
綜上,經(jīng)過2秒或3秒時,△PAD是直角三角形；
（4）∵根據(jù)點D的運動路線與OB平行且相等,OB=,
∴點D運動路線的長為．