Question

在△ABC中,AB＝BC＝2,∠ABC＝120°,將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角?(0°＜α＜90°)得△A₁BC₁,A₁B交AC于點(diǎn)E,A₁C₁分別交AC,BC于D,F兩點(diǎn)．(12分)

圖(a)                                     圖(b)
(1)如圖(a),觀察并猜想,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,線段EA₁與FC是怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論;
(2)如圖(b),當(dāng)α＝30°時(shí),試判斷四邊形BC₁DA的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)在(2)的情況下,求ED的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）EA₁=FC．理由見(jiàn)解析;（2）四邊形BC₁DA是菱形．理由見(jiàn)解析;（3）ED=2﹣．

試題分析：（1）根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠A=∠C,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABE=∠C₁BF,AB=BC=A₁B=BC₁,然后利用“角邊角”證明△ABE和△C₁BF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=BF,從而得解;
（2）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠ABC₁=150°,再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行求出AB∥C₁D,AD∥BC₁,證明四邊形BC₁DA是平行四邊形,又因?yàn)猷忂呄嗟?所以四邊形BC₁DA是菱形;
（3）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G,等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AG=BG=1,然后解直角三角形求出AE的長(zhǎng)度,再利用DE=AD﹣AE計(jì)算即可得解．
試題解析：（1）EA₁=FC．理由如下：
∵AB=BC,∴∠A=∠C,
∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α得△A₁BC₁,
∴∠ABE=∠C₁BF,AB=BC=A₁B=BC₁,
在△ABE和△C₁BF中,,
∴△ABE≌△C₁BF（ASA）,
∴BE=BF,
∴A₁B﹣BE=BC﹣BF,
即EA₁=FC;
（2）四邊形BC₁DA是菱形．理由如下：
∵旋轉(zhuǎn)角α=30°,∠ABC=120°,
∴∠ABC₁=∠ABC+α=120°+30°=150°,
∵∠ABC=120°,AB=BC,
∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°,
∴∠ABC₁+∠C₁=150°+30°=180°,
∠ABC₁+∠A=150°+30°=180°,
∴AB∥C₁D,AD∥BC₁,
∴四邊形BC₁DA是平行四邊形,
又∵AB=BC₁,
∴四邊形BC₁DA是菱形;
（3）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB,
∵∠A=∠ABA₁=30°,
∴AG=BG=AB=1,
在Rt△AEG中,AE=,
由（2）知AD=AB=2,
∴ED=AD﹣AE=2﹣．