Question

已知拋物線y=ax²-2ax+c與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，點A的坐標是（-1，0），O是坐標原點，且|OC|=3|OA|
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）直接寫出直線BC的函數(shù)表達式；
（3）如圖1，D為y軸的負半軸上的一點，且OD=2，以OD為邊作正方形ODEF．將正方形ODEF以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向移動，在運動過程中，設正方形ODEF與△OBC重疊部分的面積為s，運動的時間為t秒（0＜t≤2）．
求：①s與t之間的函數(shù)關系式；
②在運動過程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個最大值；如果不存在，請說明理由．
（4）如圖2，點P（1，k）在直線BC上，點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出M點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵A（-1，0），|OC|=3|OA|
∴C（0，-3）
∵拋物線經過A（-1，0），
C（0，-3）
∴

c=-3 (-1)2×a-2a×(-1)+c=0

∴

a=1 c=-3

∴y=x²-2x-3．

（2）由（1）的拋物線知：點B（3，0）；
設直線BC的解析式為：y=kx-3，代入B點坐標，得：
3k-3=0，解得 k=1
∴直線BC的函數(shù)表達式為y=x-3．

（3）當正方形ODEF的頂點D運動到直線BC上時，設D點的坐標為（m，-2），
根據(jù)題意得：-2=m-3，∴m=1．
①當0＜t≤1時，正方形和△OBC的重合部分是矩形；
∵OO₁=t，OD=2
∴S₁=2t；
當1＜t≤2時，正方形和△OBC的重合部分是五邊形，如右圖；
∵OB=OC=3，∴△OBC、△D₁GH都是等腰直角三角形，∴D₁G=D₁H=t-1；
S₂=S_矩形DD1O1O-S_△D1HG=2t-

1

2

×（t-1）²=-

1

2

t²+3t-

1

2

．
②由①知：
當0＜t≤1時，S=2t的最大值為2；
當1＜t≤2時，S=-

1

2

t²+3t-

1

2

=-

1

2

（t-3）²+4，由于未知數(shù)的取值范圍在對稱軸左側，且拋物線的開口向下；
∴當t=2時，函數(shù)有最大值，且值為 S=-

1

2

+4=

7

2

＞2．
綜上，當t=2秒時，S有最大值，最大值為

7

2

．

（4）由（2）知：點P（1，-2）．假設存在符合條件的點M；
①當AM

∥

.

PN時，點N、P的縱坐標相同，即點N的縱坐標為-2，代入拋物線的解析式中有：
x²-2x-3=-2，解得 x=1±

2

；
∴AM=NP=

2

，
∴M₁（-

2

-1，0）、M₂（

2

-1，0）．
②當AN

∥

.

PM時，平行四邊形的對角線PN、AM互相平分；
設M（m，0），則 N（m-2，2），代入拋物線的解析式中，有：
（m-2）²-2（m-2）-3=2，解得 m=3±

6

；
∴M₃（3-

6

，0）、M₄（3+

6

，0）．
綜上，存在符合條件的M點，且坐標為：
M₁（-

2

-1，0）、M₂（

2

-1，0）、M₃（3-

6

，0）、M₄（3+

6

，0）．