Question

如圖，⊙O中，半徑OA⊥OE，弦AB交OE于D，過B作⊙O的切線，交OE的延長(zhǎng)線于C，若tan∠A=

1

3

，求sin∠DCB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)，得出OB⊥BC，進(jìn)而求得DC=BC，根據(jù)tan∠A=

1

3

，得出OA=OB=3OD，設(shè)DC=BC=x，OD=y，則OA=OB=3y，根據(jù)勾股定理求得x=4y，進(jìn)而求得OC=OD+DC=x+y=5y，然后根據(jù)解直角三角形即可求得sin∠DCB的值．

解答：解：連接OB，
∵BC是⊙O的切線，
∴OB⊥BC，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵∠A+∠ADO=∠ABO+∠DBC=90°，
∴∠BDC=∠DBC，
∴DC=BC，
∵tan∠A=

OD

OA

=

1

3

，
∴設(shè)DC=BC=x，OD=y，則OA=OB=3y，
在RT△OBC中，根據(jù)勾股定理OB²+BC²=OC²，
∴（3y）²+x²=（x+y）²，
解得x=4y，
∴OC=OD+DC=x+y=5y，
∴sin∠DCB=

OB

OC

=

3y

5y

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角函數(shù)，連接圓心和切點(diǎn)從而得出直角三角形是常用的方法．