Question

在一個邊長為a（單位：cm）的正方形ABCD中．
（1）如圖1，如果N是AD中點，F(xiàn)為AB中點，連接DF，CN．
①求證：DF=CN；
②連接AC．則DH：HE：EF=

 

．（直接寫出結果）
（2）如圖2，如果點E、M分別是線段AC、CD上的動點，假設點E從點A出發(fā)，以

2

cm/s速度沿AC向點C運動，同時點M從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點D運動，運動時間為t（t＞0），連結DE并延長，交正方形的邊于點F，過點M作MN⊥DF于H，交AD于N．求證：當點F是邊AB中點時，DM=2CM．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,全等三角形的判定與性質,正方形的性質

專題：動點型

分析：（1）①如圖1，證明AF=DN；證明△ADF≌△DCN，即可解決問題．
（2）如圖2，證明∠GDE=∠DMN；證明△DGE≌△MDN，得到DN=EG=t=CM；證明△ADF∽△DMN，得

DN

DM

=

AF

AD

；
證明

AF

AB

=

DN

DM

=

1

2

，得到DM=2DN，即可解決問題．

解答：解：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD=DC，∠FAD=∠ADC=90°；而點F、N分別為AB、AD的中點，
∴AF=DN；
在△ADF與△DCN中，

AF=DN ∠FAD=∠NDC AD=DC

，
∴△ADF≌△DCN（SAS），
∴DF=CN．
②6：4：5．
（2）過點E作EG⊥AD于點G，
依題意得，AE=

2

t，易求AG=EG=t，
CM=t，DG=DM=a-t；
∵MN⊥DF，∠MDN=90°，
∴∠GDE+∠EDM=∠EDM+∠DMH，
∴∠GDE=∠DMN；
在△DGE與△MDN中，

∠EGD=∠NDA DG=DM ∠GDE=∠DMN

，
∴△DGE≌△MDN（ASA），
∴DN=EG=t=CM；
∵∠FAD=∠MDN，∠ADF=∠DMN，
∴△ADF∽△DMN，
∴

DN

DM

=

AF

AD

；
又∵點F是線段AB中點，AB=AD，
∴

AF

AB

=

DN

DM

=

1

2

，
∴DM=2DN；
∵DN=CM，
∴DM=2CM．

點評：該題以正方形為載體，以正方形的性質、全等三角形的判定及其性質、相似三角形的判定及其性質等幾何知識點為考查的核心構造而成；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．