Question

（2009•臺(tái)州）如圖，已知直線y=-x+1交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為邊向上作正方形ABCD，過點(diǎn)A，D，C的拋物線與直線另一個(gè)交點(diǎn)為E．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若正方形以每秒個(gè)單位長度的速度沿射線AB下滑，直至頂點(diǎn)D落在x軸上時(shí)停止．設(shè)正方形落在x軸下方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍；
（4）在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時(shí)D停止，求拋物線上C，E兩點(diǎn)間的拋物線弧所掃過的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）可先根據(jù)AB所在直線的解析式求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出OA、OB的長．過D作DM⊥y軸于M，則△ADM≌△BAO，由此可得出MD、MA的長，也就能求出D的坐標(biāo)，同理可求出C的坐標(biāo)；
（2）可根據(jù)A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）要分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)F點(diǎn)在A′B′之間時(shí)，即當(dāng)0＜t≤1時(shí)，此時(shí)S為三角形FBG的面積，可用正方形的速度求出AB′的長，即可求出B′F的長，然后根據(jù)∠GFB′的正切值求出B′G的長，即可得出關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)A′在x軸下方，但C′在x軸上方或x軸上時(shí)，即當(dāng)1＜t≤2時(shí)，S為梯形A′GB′H的面積，可參照①的方法求出A′G和B′H的長，那么梯形的上下底就可求出，梯形的高為A′B′即正方形的邊長，可根據(jù)梯形的面積計(jì)算公式得出關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式．
③當(dāng)D′逐漸移動(dòng)到x軸的過程中，即當(dāng)2＜t≤3時(shí)，此時(shí)S為五邊形A′B′C′HG的面積，S=正方形A′B′C′D′的面積-三角形GHD′的面積．可據(jù)此來列關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）CE掃過的圖形是個(gè)平行四邊形，經(jīng)過關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)平行四邊形的面積實(shí)際上就是矩形BCD′A′的面積．可通過求矩形的面積來求出CE掃過的面積．
解答：解：（1）C（3，2）D（1，3）；

（2）設(shè)拋物線為y=ax²+bx+c，拋物線過（0，1）（3，2）（1，3），

解得，
∴y=-x²+x+1；

（3）①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=1，
當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如圖1，
∵∠OFA=∠GFB′，
tan∠OFA=，
∴tan∠GFB′=，
∴GB′=t
∴S_△FB′G=FB′×GB′
=×t×=t²；
②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=2，
當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如圖2，
A′B′=AB=，
∴A′F=t-，
∴A′G=，
∵B′H=，
∴S_{梯形A′B′HG}=（A′G+B′H）×A′B′
==t-；
③當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=3，
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如圖3，
∵A′G=，
∴GD′=，
∵S_△AOF=×1×2=1，OA=1，△AOF∽△GD′H
∴，
∴，
∴S_{五邊形GA′B′C′H}=（）²-（
=-t²+t-；

（4）∵t=3，BB′=AA′=3，
∴S_陰影=S_{矩形BB′C′C}=S_{矩形AA′D′D}
=AD×AA′=×3=15．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形平移變換、三角形相似等重要知識(shí)點(diǎn)，（3）小題中要根據(jù)正方形的不同位置分類進(jìn)行討論，不要漏解．