【題目】如圖,四邊形ABCD為平行四邊形紙片.把紙片ABCD折疊,使點(diǎn)B恰好落在CD邊上,折痕為AF.且AB=10cmAD=8cm、DE=6cm

1)求證:平行四邊形ABCD是矩形;

2)如圖2,以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),水平方向、豎直方向?yàn)?/span>x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,求直線AF的解析式;

3)在(2)中的坐標(biāo)系內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以點(diǎn)PA、EF為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若不存在,請(qǐng)說明理由;若存在,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

【答案】(1)見解析;(2) y=-2x+10 (3)見解析.

【解析】

1)根據(jù)翻折變換的對(duì)稱性可知AE=AB,在ADE中,利用勾股定理逆定理證明三角形為直角三角形,再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明即可;
2)設(shè)BFx,分別表示出EF、EC、FC,然后在EFC中利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算,而后得出F點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求解即可;
3)分三種情況:①當(dāng)以AE為對(duì)角線時(shí);②當(dāng)以AF為對(duì)角線時(shí);③當(dāng)以EF為對(duì)角線時(shí),討論解答即可.

1)證明:∵把紙片ABCD折疊,使點(diǎn)B恰好落在CD邊上,
AE=AB=10,AE2=102=100,
又∵AD2+DE2=82+62=100
AD2+DE2=AE2,
∴△ADE是直角三角形,且∠D=90°,
又∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴平行四邊形ABCD是矩形(有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形);

2)解:設(shè)BF=x,則EF=BF=x,EC=CD-DE=10-6=4cmFC=BC-BF=8-x,
RtEFC中,EC2+FC2=EF2,
42+8-x2=x2,
解得x=5,
BF=5cm;

F5,0),易求直線AF的解析式為:y=-2x+10;
3)如圖所示:

由題意得:A(0,10), E(8,4),F(5,0)

①當(dāng)以AE為對(duì)角線時(shí),

∵四邊形AFE為平行四邊形,∴AF=E==5,EF=A=,F(5,0),E(8,4),可以看作點(diǎn)F的坐標(biāo)向右平移3個(gè)單位,再向上平移4個(gè)單位得到,∴由A(0,10)向右平移3個(gè)單位,再向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)(0+3,10+4),(3,14);

②當(dāng)以AF為對(duì)角線時(shí),

∵四邊形AEF為平行四邊形,∴AF=F,EF=A,A(0,10),E(8,4),可以看作點(diǎn)E的坐標(biāo)向左平移8個(gè)單位,向上平移6個(gè)單位,得到,∴由F(5,0)向左平移8個(gè)單位,再向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)(5-8,0+6),(-3,6);

③當(dāng)以EF為對(duì)角線時(shí),

∵四邊形AEF為平行四邊形,∴AF=F,AF=E,A(0,10),E(8,4),可以看作點(diǎn)A的坐標(biāo)向右平移8個(gè)單位,再向下平移6個(gè)單位得到,∴由F(5,0) 向右平移8個(gè)單位,再向下平移6個(gè)單位得到點(diǎn)(5+8,0-6),(13,-6);

綜上所述:P1(314),P2(-3,6)P3(13,-6)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀理解:在平面直角坐標(biāo)系中,若兩點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是P(x1,y1)、

Q(x2,y2),則P、Q這兩點(diǎn)間的距離為|PQ|=.如P(1,2),Q(3,4),則|PQ|==2

對(duì)于某種幾何圖形給出如下定義:符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)形成的圖形,叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.如平面內(nèi)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線.

解決問題:如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=kx+y軸于點(diǎn)A,點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,過點(diǎn)B作直線l平行于x軸.

(1)到點(diǎn)A的距離等于線段AB長(zhǎng)度的點(diǎn)的軌跡是   ;

(2)若動(dòng)點(diǎn)C(x,y)滿足到直線l的距離等于線段CA的長(zhǎng)度,求動(dòng)點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式;

問題拓展:(3)若(2)中的動(dòng)點(diǎn)C的軌跡與直線y=kx+交于E、F兩點(diǎn),分別過E、F作直線l的垂線,垂足分別是M、N,求證:①EF是△AMN外接圓的切線;②為定值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABC中,AB=AC=12cm,BC=9cm,點(diǎn)DAB的中點(diǎn).

1)如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由BC點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).

①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等,當(dāng)經(jīng)過1秒時(shí),BPDCQP是否全等,請(qǐng)判斷并說明理由;

②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等,當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí),能夠使BPD≌△CPQ?

2)若點(diǎn)Q以②的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā),點(diǎn)P以原來運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),都逆時(shí)針沿ABC的三邊運(yùn)動(dòng),求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間,點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在ABC的哪條邊上會(huì)相遇?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一家商店要進(jìn)行裝修,若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工,8天可以完成,需付兩組費(fèi)用共3520元;若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天,再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可完成,需付兩組費(fèi)用共3480元,問:

(1)甲、乙兩組工作一天,商店應(yīng)各付多少元?

(2)已知甲組單獨(dú)做需12天完成,乙組單獨(dú)做需24天完成,單獨(dú)請(qǐng)哪組,商店所付費(fèi)用最少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩組同學(xué)進(jìn)行一分鐘引體向上測(cè)試,評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定,做6個(gè)以上6個(gè)為合格,做9個(gè)以上9個(gè)為優(yōu)秀,兩組同學(xué)的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚?/span>

成績(jī)個(gè)

 4

 5

 6

 7

 8

 9

 甲組

 1

 2

 5

 2

 1

 4

 乙組

 1

 1

 4

 5

 2

 2

現(xiàn)將兩組同學(xué)的測(cè)試成績(jī)繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:

統(tǒng)計(jì)量

平均數(shù)個(gè)

中位數(shù)

眾數(shù)

方差

合格率

優(yōu)秀率

甲組

a

6

6

乙組

b

7

將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

統(tǒng)計(jì)表中的______,______;

人說甲組的優(yōu)秀率高于乙組優(yōu)秀率,所以甲組成績(jī)比乙組成績(jī)好,但也有人說乙組成績(jī)比甲組成績(jī)好,請(qǐng)你給出兩條支持乙組成績(jī)好的理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠BAD60°,ACBD交于點(diǎn)O,ECD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且CDDE,連接BE分別交AC、AD于點(diǎn)F、G,連接OG,則下列結(jié)論中一定成立的是( )

OGAB;②與△EGD全等的三角形共有5個(gè);③S四邊形ODGFSABF;④由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形.

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且ADMNDBEMNE。

1)①求證圖1中△ADC≌△CEB;②證明DE=AD+BE;

2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),請(qǐng)說明DE=ADBE的理由;

3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),試問DEAD、BE又具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系(不必說明理由)。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】拋物線y=ax2+bx+ca≠0)如圖所示,現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論:①abc>0 ②b2-4ac<0 ③c<4b ④a+b>0.其中正確的結(jié)論有(  )

A. 1個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 4個(gè)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,小明和小龍做轉(zhuǎn)陀螺游戲,他們同時(shí)分別轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)陀螺,當(dāng)兩個(gè)陀螺都停下來時(shí),與桌面相接觸的邊上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率是

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