【題目】如圖,拋物線y=﹣x2x+cx軸交于A,B兩點,且點B的坐標為(3,0),與y軸交于點C,連接AC,BC,點P是拋物線上在第二象限內(nèi)的一個動點,點P的橫坐標為a,過點Px軸的垂線,交AC于點Q

1)求A,C兩點的坐標.

2)請用含a的代數(shù)式表示線段PQ的長,并求出a為何值時PQ取得最大值.

3)試探究在點P運動的過程中,是否存在這樣的點Q,使得以BC,Q為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,請寫出此時點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1A(﹣4,0),C0,4);(2a=﹣2時,PQ有最大值;(3)存在,理由見解析;Q(﹣13)或(

【解析】

1)將點B的坐標(3,0)代入拋物線解析式可得出c4,解方程,得x13x2=﹣4,則A(﹣4,0);

2)求出直線AC的解析式y=﹣x+4,設(shè)Pa,),則點Qa,a+4),則PQ可用a表示,由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出PQ的最大值;

3)分BCBQ、BCCQ、CQBQ三種情況,分別列得出方程求解即可.

1)把點B的坐標(3,0)代入拋物線解析式得,

,

解得:c4,

y0,則

解得x13,x2=﹣4,

A(﹣40),C0,4);

2)∵A(﹣4,0),C04),

設(shè)直線AC的解析式為ykx+b

,

∴直線AC的解析式yx+4,

P的橫坐標為a,Pa),則點Qa,a+4),

PQ,

,

a=﹣2時,PQ有最大值

3)存在,理由:

AB、C的坐標分別為(﹣40)、(3,0)、(0,4),

BC5,AB7,AC4,∠OAC=∠OCA45°,

將點BC的坐標代入一次函數(shù)表達式:ymx+n并解得:,

∴直線BC的解析式為y=﹣x+4

設(shè)BC的中點為H,由中點坐標公式可得H),

∴過BC的中點H且與直線BC垂直直線的表達式為:y

①當BCBQ時,如圖1,

BCBQ5,

設(shè):QMAMn,則BM7n,

由勾股定理得:(7n2+n225,

解得:n34(舍去4),

故點Q1(﹣1,3);

②當BCCQ時,如圖1,

CQ5,

AQACCQ4,

,

③當CQBQ時,

聯(lián)立直線AC解析式yx+4y,

解得x=﹣(不合題意,舍去),

綜合以上可得點Q的坐標為:Q(﹣1,3)或(

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2)以原點為位似中心,位似比為12,在軸的左側(cè),畫出將放大后的,并寫出點的對應(yīng)點的坐標___________________

3___________________.

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