Question

【題目】如圖，點是正方形對角線上一點，于，點、分別是、的中點．

（1）求證：；

（2）當點在對角線（不含、兩點）上運動時，是否為定值？如果是，請求其值；如果不是，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）是定值，

【解析】

（1）首先證明△AFE是等腰直角三角形，可得PF⊥AE，由直角三角形的性質(zhì)可得結論；
（2）由“SAS”可證△APB≌△APD，可得PB=PD，通過證明△AFC∽△APB，可得 ，即可得．

解：（1）如圖，連接PF，

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠BAC=45°=∠CAD，AB=AD

∵EF⊥AB

∴∠BAC=∠AEF=45°

∴AF=EF，

∴△AFE是等腰直角三角形，且P是AE中點，

∴PF⊥AE，

∵點M是Rt△PFC斜邊FC的中點

∴PM=FC

（2）是定值，

理由如下：如圖，連接PB

∵AP=AP，∠BAC=∠DAC=45°，AB=AD

∴△APB≌△APD（SAS）

∴PD=PB

∵△ABC，△AFE是等腰直角三角形

∴，

∴，且∠BAP=∠FAC

∴△AFC∽△APB

∴

∴

∴