Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，∠D=60°，以AB為直徑作⊙O，已知AB=10，AD=m．
（1）求O到CD的距離（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）若m=6，通過計(jì)算判斷⊙O與CD的位置關(guān)系；
（3）若⊙O與線段CD有兩個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形ABCD是平行四邊形，因此O到CD的距離和A到CD的距離相同．
因此可過A作CD的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中，用AD的長(zhǎng)和∠D的余弦函數(shù)即可求出所求的距離；
（2）判定⊙O與CD的位置，比較O到CD的距離和⊙O半徑的大小即可；
（3）設(shè)線段BC與圓O的交點(diǎn)為E（B點(diǎn)除外），如果CD與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，必須滿足的條件是：O到CD的距離小于半徑的長(zhǎng)并且要保證C點(diǎn)在E點(diǎn)的左側(cè)．
可先求出E、C重合時(shí)，O到CD的距離．
連接AE易知：BE=2.5，然后過E作AB的垂線，同（1）可求出這個(gè)距離的長(zhǎng)，由此可得出m的取值范圍．

解答：解：（1）根據(jù)平行線間的距離相等，則O到CD的距離即為A到CD的距離．
根據(jù)∠D=60°，AD=m，得O到CD的距離是

3

2

m；
（2）當(dāng)m=6時(shí)，

3

2

m=3

3

＞5，故相離；
（3）若⊙O與線段CD有兩個(gè)公共點(diǎn)，則該圓和線段CD相交，則5≤m＜

10

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系．
要注意的是（3）題所求的是線段CD與⊙O有兩個(gè)公共點(diǎn)，不要當(dāng)做直線CD來求解．