【題目】有一個(gè)二次函數(shù)滿足以下條件:
①函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,0),B(x2,y2)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè));
②對(duì)稱軸是x=3;
③該函數(shù)有最小值是﹣2.
(1)請(qǐng)根據(jù)以上信息求出二次函數(shù)表達(dá)式;
(2)將該函數(shù)圖象x>x2的部分圖象向下翻折與原圖象未翻折的部分組成圖象“G”,平行于x軸的直線與圖象“G”相交于點(diǎn)C(x3,y3)、D(x4,y4)、E(x5,y5)(x3<x4<x5),結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象求x3+x4+x5的取值范圍.
【答案】(1)y=(x﹣3)2﹣2;(2)11<x3+x4+x5<9+2.
【解析】
(1)利用二次函數(shù)解析式的頂點(diǎn)式求得結(jié)果即可;
(2)由已知條件可知直線與圖象“G”要有3個(gè)交點(diǎn).分類討論:分別求得平行于x軸的直線與圖象“G”有2個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)時(shí)x3+x4+x5的取值范圍,易得直線與圖象“G”要有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)x3+x4+x5的取值范圍.
(1)有上述信息可知該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(3,﹣2)
設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為:y=a(x﹣3)2﹣2.
∵該圖象過(guò)A(1,0)
∴0=a(1﹣3)2﹣2,解得a=.
∴表達(dá)式為y=(x﹣3)2﹣2
(2)如圖所示:
由已知條件可知直線與圖形“G”要有三個(gè)交點(diǎn)
1當(dāng)直線與x軸重合時(shí),有2個(gè)交點(diǎn),由二次函數(shù)的軸對(duì)稱性可求x3+x4=6,
∴x3+x4+x5>11,
當(dāng)直線過(guò)y=(x﹣3)2﹣2的圖象頂點(diǎn)時(shí),有2個(gè)交點(diǎn),
由翻折可以得到翻折后的函數(shù)圖象為y=﹣(x﹣3)2+2,
∴令(x﹣3)2+2=﹣2時(shí),解得x=3+2或x=3﹣2(舍去)
∴x3+x4+x5<9+2.
綜上所述11<x3+x4+x5<9+2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(4,0),(3,2).
(1)畫(huà)出△AOB關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的圖形△COD;
(2)將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△EOF,畫(huà)出△EOF;
(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)是 ,點(diǎn)F的坐標(biāo)是 ,此圖中線段BF和DF的關(guān)系是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,CD是線段AB的垂直平分線,則∠CAD= ∠CBD.請(qǐng)說(shuō)明理由:
解:∵CD是線段AB的垂直平分線,
∴AC=___ ,_ =BD. .
在△ACD和△BCD中,
. =BC,
AD=_ ,
CD=CD,
∴△ACD≌__ ___ (_ . __) .
∴∠CAD=∠CBD (_ __ )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】反比例函數(shù)和一次函數(shù)y=k2x+b的圖象交于點(diǎn)M(3,﹣)和點(diǎn)N(﹣1,2),則k1=_____,k2=____,一次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察推理:如圖1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線l過(guò)點(diǎn)C,點(diǎn)A、B在直線l同側(cè),BD⊥l,AE⊥l,垂足分別為D、E.
(1)求證:△AEC≌△CDB;
(2)類比探究:如圖2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,將斜邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AB′,連接B′C,求△AB′C的面積;
(3)拓展提升:如圖3,∠E=60°,EC=EB=4cm,點(diǎn)O在BC上,且OC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E沿射線EC以2cm/s速度運(yùn)動(dòng),連結(jié)OP,將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF.要使點(diǎn)F恰好落在射線EB上,求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△DCB中,若∠ACB=∠DBC,則不能證明兩個(gè)三角形全等的條件是( )
A.∠ABC=∠DCBB.∠A=∠DC.AB=DCD.AC=DB
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:如果一條拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“直觀三角形”.
(1)拋物線y=x2的“直觀三角形”是 .
A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
(2)若拋物線y=ax2+2ax﹣3a的“直觀三角形”是直角三角形,求a的值;
(3)如圖,面積為12的矩形ABCO的對(duì)角線OB在x軸的正半軸上,AC與OB相交于點(diǎn)E,若△ABE是拋物線y=ax2+bx+c的“直觀三角形”,求此拋物線的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠ABC,①BD平分∠ABC;②DE=DF;③∠ABC+∠EDF=180°,以①②③中的兩個(gè)作為條件,另一個(gè)作為結(jié)論,可以使結(jié)論成立的有幾個(gè)( )
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD,CE相交于F.
求證:AF平分∠BAC.
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