【題目】綜合與探究:在平面直角坐標系中,已知拋物線
與
軸交于
,
兩點(點
在點
的右側),與
軸交于點
,它的對稱軸與
軸交于點
,直線
經過
,
兩點,連接
.
(1)求,
兩點的坐標及直線
的函數(shù)表達式;
(2)探索直線上是否存在點
,使
為直角三角形,若存在,求出點
的坐標;若不存在,說明理由;
(3)若點是直線
上的一個動點,試探究在拋物線上是否存在點
:
①使以點,
,
,
為頂點的四邊形為菱形,若存在,請直接寫出點
的坐標;若不存在,說明理由;
②使以點,
,
,
為頂點的四邊形為矩形,若存在,請直接寫出點
的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】(1)點的坐標為
,點
的坐標為
,
;(2)存在,點
的坐標為
或
;(3)①拋物線上存在點
,使以點
為頂點的四邊形為菱形,此時點
的坐標為
;②拋物線上存在點
,使以點
為頂點的四邊形為矩形,此時點
的坐標為
【解析】
(1)先由拋物線的解析式以及圖像特征求得點、
的坐標,再利用待定系數(shù)法即可求得直線
的函數(shù)表達式;
(2)先由點、
、
三點的坐標根據(jù)坐標系中距離公式推出
為等邊三角形,再分兩種情況畫圖進行分類討論,利用解直角三角形確定符合要求的點
的坐標.
(3)①通過添加輔助線構造出四邊形,然后根據(jù)菱形的判定方法進行證明即可;
②通過添加輔助線構造出四邊形,然后根據(jù)矩形的判定方法進行證明即可.
解:(1)當時,
解得,
∵
∴點的坐標為
,點
的坐標為
∴拋物線的對稱軸為直線
∴點的坐標為
當時,
∴點的坐標為
設直線的表達式為
,則
解得
∴直線的表達式為
.
(2)結論:直線上存在點
,使
為直角三角形.
證明:∵點的坐標為
,點
的坐標為
∴
又∵點的坐標為
,
∴
∴
∴為等邊三角形
∴
分兩種情況:
①當時,
∵
∴
作軸于點
,如圖:
∵在中,
∴,
∴點的坐標為
.
②作軸于點
,如圖:
當時
∵
∴,
∴
∴
在中,
∴,
∵
∴點的坐標為
∴綜上所述:直線上存在點
,使
為直角三角形,點
的坐標為
或
;
(3)①過點作
軸交拋物線于點
,連接
,如圖:
∵點的坐標為
,
∴當時,
∴,
(不合題意舍去)
∴點的坐標為
∴
∵點的坐標為
∴
∵由(2)可知
∴
∴四邊形是菱形
∴當點位于點
處時,拋物線上存在點
,使以點
、
、
、
為頂點的四邊形為菱形,此時點
的坐標為
;
②過點作
交直線
于點
,連接
、
,如圖:
∵
∴
∵由(2)可知
∴
∵由(2)可知
∴
∴
∵點的坐標為
,點
的坐標為
,點
的坐標為
∴,
∴
∴四邊形是矩形
∴拋物線上存在點即點
處,使以點
、
、
、
為頂點的四邊形為矩形,此時點
的坐標為
.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,對角線AC,BD交于點O,AC平分∠BAD,過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E,連接OE.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)若AB=,BD=2,求OE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在2019年植樹節(jié)這一天,某校組織300名七年級學生,200名八年級學生,100名九年級學生參加義務植樹活動.圖甲是根據(jù)植樹情況繪制成的條形統(tǒng)計圖.
請根據(jù)題中提供的信息解答下列問題.
(1)參加植樹的學生平均每人植樹多少棵?
(2)圖2是小明同學尚未完成的各年級植樹情況的扇形統(tǒng)計圖,請你把它補充完整(要求標注圓心角度數(shù));
(3)若該種樹苗在正常情況下的成活率為85%,則今后還需補種多少棵樹?(補種樹苗的成活率也為85%)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知菱形ABCD與線段AE,且AE與AB重合.現(xiàn)將線段AE繞點A逆時針旋轉180°,在旋轉過程中,若不考慮點E與點B重合的情形,點E還有三次落在菱形ABCD的邊上,設∠B=α,則下列結論正確的是( )
A.B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知點A,對點A作如下變換:
第一步:作點A關于x軸的對稱點A1;第二步:以O為位似中心,作線段OA1的位似圖形OA2,且相似比=q,則稱A2是點A的對稱位似點.
(1)若A(2,3),q=2,直接寫出點A的對稱位似點的坐標;
(2)已知直線l:y=kx-2,拋物線C:y=-x2+mx-2(m>0).點N(
,2k-2)在直線l上.
①當k=時,判斷E(1,-1)是否是點N的對稱位似點,請說明理由;
②若直線l與拋物線C交于點M(x1,y1)(x1≠0),且點M不是拋物線的頂點,則點M的對稱位似點是否可能仍在拋物線C上?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與
軸交于
,
兩點,與
軸交于點
,點
與點
關于
軸對稱.
(1)求點,
,
的坐標;
(2)求直線的解析式;
(3)在直線下方的拋物線上是否存在一點
,使
的面積最大?若存在,求出點
的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】學校開展“書香校園”活動以來,受到同學們的廣泛關注,學位為了解全校學生課外閱讀的情況,隨機調查了部分學生在一周內借閱圖書的次數(shù),并制成如下不完整的統(tǒng)計圖表.
請你根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息,解答下列問題:
(1)=___________,
=_____________;
(2)該調查統(tǒng)計數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_________,眾數(shù)是__________;
(3)請計算扇形統(tǒng)計圖中“3次”所對應扇形的圓心角的度數(shù);
(4)若該校共有2000名學生,根據(jù)調查結果,估計該校學生在一周內借閱圖書“4次及以上”的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.了解全國中學生最喜愛哪位歌手,適合全面調查.
B.甲乙兩種麥種,連續(xù)3年的平均畝產量相同,它們的方差為:S甲2=5,S乙2=0.5,則甲麥種產量比較穩(wěn).
C.某次朗讀比賽中預設半數(shù)晉級,某同學想知道自己是否晉級,除知道自己的成績外,還需要知道平均成績.
D.一組數(shù)據(jù):3,2,5,5,4,6的眾數(shù)是5.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】立定跳遠是體育中考選考項目之一,體育課上老師記錄了某同學的一組立定跳遠成績如表:
成績(m) | 2.3 | 2.4 | 2.5 | 2.4 | 2.4 |
則下列關于這組數(shù)據(jù)的說法,正確的是( �。�
A.眾數(shù)是2.3B.平均數(shù)是2.4
C.中位數(shù)是2.5D.方差是0.01
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