Question

19．已知正方形ABCD中，對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC上，連結(jié)AE交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若點(diǎn)E在BC的中點(diǎn)，且AB=4，求BP的長；
（2）如圖2，連結(jié)DF，求證：AM=DF；
（3）如圖3，連接EF，MF，若四邊形BEFM是菱形，試探究CE與BE的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先由勾股定理求AE的長，再利用△BPE∽△ABE得比例式求出BP=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
（2）證明△AOM≌△BOF，得AM=BF，再由正方形對角線平分且垂直得DF=BF，所以AM=DF；
（3）先證明△AMF≌△BFC，與菱形對應(yīng)邊相等得BE=MF=FC，利用勾股定理求AC的長，則可得FC的長，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵點(diǎn)E在BC的中點(diǎn)，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵BF⊥AE，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠ABC，
∵∠AEB=∠PEB，
∴△BPE∽△ABE，
∴$\frac{BP}{AB}=\frac{BE}{AE}$，
∴$\frac{BP}{4}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴BP=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
（2）如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠BOC=90°，
∵∠APF=∠BOF=90°，∠AFP=∠BFO，
∴∠EAC=∠OBF，
∴△AOM≌△BOF，
∴AM=BF，
∵AC是BD的垂直平分線，
∴DF=BF，
∴AM=DF；
（3）如圖3，CE=$\sqrt{2}$BE，理由是：
∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵四邊形BEFM是菱形，
∴∠OBF=∠EBF，
∵∠EAC=∠OBF，
∴∠EBF=∠EAC，
∵M(jìn)F∥BC，
∴∠OFM=∠OCB，
由（2）得AM=BF，
∴△AMF≌△BFC，
∴AF=BC=4，F(xiàn)C=FM，
∴FC=4$\sqrt{2}$-4，
∴BE=MF=FC=4$\sqrt{2}$-4，
∴EC=4-BE=4-（4$\sqrt{2}$-4）=8-4$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$（4$\sqrt{2}$-4）=8-4$\sqrt{2}$，
∴CE=$\sqrt{2}$BE．

點(diǎn)評 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形、菱形、全等三角形、相似三角形的性質(zhì)及判定；再證明線段相等時，如果這兩條線段不在全等三角形內(nèi)，可以利用一個第三邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化，本題的第（2）問中：找第三邊為BF，通過證明AM=BF、DF=BF可得出結(jié)論．