Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（1，0），B（5，0），C（0，5）三點．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x取何值時，二次函數(shù)y=ax²+bx+c中的y隨x的增大而增大？
（3）若過點C的直線y=kx+b與拋物線相交于點E（4，m），請求出 BCE的面積S的值；
（4）在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個滿足條件的點P（要求簡要說明理由，但不證明）；若不存在這樣的點P，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)拋物線y=ax²+bx+c=a（x-1）（x-5），把C的坐標(biāo)代入求出即可；
（2）把拋物線的解析式化成頂點式，求得對稱軸，根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可求得x的取值；
（3）求出E的坐標(biāo)，把C（0，5），E（4，-3）代入y=kx+b得到方程組，求出方程組的解即可得到一次函數(shù)的解析式，求出直線與X軸的交點，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（4）求出拋物線的頂點坐標(biāo)，根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）∵A（1，0），B（5，0），
設(shè)拋物線y=ax²+bx+c=a（x-1）（x-5），
把C（0，5）代入得：5=a（0-1）（0-5），
解得：a=1，
∴y=（x-1）（x-5）=x²-6x+5，
即拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y=x²-6x+5．

（2）∵y=x²-6x+5=（x-3）²-4，
∴拋物線的對稱軸為x=3，
又∵二次函數(shù)y=x²-6x+5的二次項系數(shù)為1＞0，
∴拋物線的開口向上，
∴當(dāng)x≥3時y隨x的增大而增大；

（3）把x=4代入y=x²-6x+5得：y=-3，
∴E（4，-3），
把C（0，5），E（4，-3）代入y=kx+b得：

b=5 4k+b=-3

，
解得：k=-2，b=5，
∴y=-2x+5，
設(shè)直線y=-2x+5交x軸于D，
當(dāng)y=0時，0=-2x+5，
∴x=

5

2

，
∴OD=

5

2

，
BD=5-

5

2

=

5

2

，
∴S_△CBE=S_△CBD+S_△EBD=

1

2

×

5

2

×5+

1

2

×

5

2

×|-3|=10，

（4）存在點P使得△ABP為等腰三角形，這樣的點P共有7個；
∵拋物線的頂點P（3，-4）既在拋物線的對稱軸上又在拋物線上，
∴點P（3，-4）為所求滿足條件的點．
除P點外，在拋物線上還存在其它的點P使得△ABP為等腰三角形．
理由如下：
∵AP=BP=

22+42

=2

5

＞4，
∴分別以A、B為圓心半徑長為4畫圓，分別與拋物線交于點B、P₁、P₂、P₃、A、P₄、P₅、P₆，除去B、A兩個點外，其余6個點為滿足條件的點．

點評：本題主要考查對線段的垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，拋物線的性質(zhì)，三角形的面積，一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．