Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=-

2

x

的圖象交于A、B兩點(diǎn)．過(guò)A點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，E、F為垂足．
（1）請(qǐng)直接寫出矩形AEOF的面積；
（2）設(shè)一次函數(shù)y=ax+b與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為C、D，當(dāng)OC=3OE時(shí)．
①試求△OCD的面積；
②當(dāng)OE=1時(shí)，以BD為直徑作⊙N，與x軸相交于P點(diǎn)，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,勾股定理,垂徑定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得到矩形AEOF的面積．
（2）①設(shè)OE=m（m＞0），即可用m表示出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，再由△DOC∽△AEC即可求出OD的長(zhǎng)度（用m表示），進(jìn)而可以求出△DOC的面積．
②由OE=1得m=1，從而得到點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AC的解析式，就可求出點(diǎn)D、B的坐標(biāo)，以及BD的長(zhǎng)度（即⊙N的直徑），然后借助于三角形相似就可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再借助于勾股定理即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖1，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=-

2

x

的圖象上，
且AE⊥x軸，AF⊥y軸，
∴S_矩形AEOF=

.

-2

.

=2．
∴矩形AEOF的面積為2．
（2）①如圖1，
設(shè)OE=m（m＞0），則E（-m，0）．
∴C（3m，0），A（-m，

2

m

）．
∴OC=3m，CE=4m，AE=

2

m

．
∵AE⊥x軸、AF⊥y軸，
∴∠DOC=∠AEC=90°．
又∵∠DCO=∠ACE，
∴△DOC∽△AEC．
∴

OD

AE

=

OC

CE

．
∴

OD

2 m

=

3m

4m

．
∴OD=

3

2m

．
∴S_△OCD=

1

2

OC•DO=

1

2

×3m×

3

2m

=

9

4

．
∴△OCD的面積為

9

4

．
②過(guò)點(diǎn)N作NG⊥y軸，垂足為G，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥y軸，垂足為H，過(guò)點(diǎn)N作NM⊥x軸，垂足為M，連接NP，如圖2所示．
∵OE=1，
∴m=1．
∴A（-1，2），C（3，0）．
∵點(diǎn)A、點(diǎn)C在直線y=ax+b上，
∴

-a+b=2 3a+b=0

解得：

a=- 1 2 b= 3 2

．
∴y=-

1

2

x+

3

2

．
當(dāng)x=0時(shí)，y=

3

2

．
∴OD=

3

2

．
∵A、B是直線y=-

1

2

x+

3

2

與反比例函數(shù)y=-

2

x

圖象的交點(diǎn)，
∴-

1

2

x+

3

2

=-

2

x

．
解得：x₁=-1，x₂=4．
當(dāng)x₁=-1時(shí)，y₁=2；
當(dāng)x₂=4時(shí)，y2=-

1

2

．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，-

1

2

）．
∴BH=4，OH=

1

2

．
∴DH=2．
∵∠BHD=90°，
∴BD=

DH2+BH2

=

22+42

=2

5

．
∴PN=

5

．
∵NG⊥y軸，BH⊥y軸
∴NG∥BH
∴△DGN∽△DHB．
∴

DG

DH

=

GN

HB

=

DN

DB

．
∵DN=

1

2

DB，
∴DG=

1

2

DH，NG=

1

2

BH=2．
∵點(diǎn)N在直線y=-

1

2

x+

3

2

上，
∴點(diǎn)N(2，

1

2

)．
∴NM=

1

2

．
∵NM⊥PP′，
∴PM=P′M，∠NMP=90°．
∵PN=

5

，NM=

1

2

，
∴PM2=NP2-MN2=

19

4

．
∴PM=

19

2

．
∴P′M=

19

2

．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-

19

2

，0）或（

19

2

+2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)，有一定的綜合性．