Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為3a，兩動點E，F分別從頂點B，C同時開始以相同速度沿邊BC，CD運動，與△BCF相應的△EGH在運動過程中始終保持△EGH≌△BCF，對應邊EG＝BC，B，E，C，G在一條直線上.

（1）若BE＝a，求DH的長；

（2）當E點在BC邊上的什么位置時，△DHE的面積取得最小值？并求該三角形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）a；（2）E為BC的中點時，a2

【解析】

（1）可通過構建直角三角形求解．連接FH，則FH∥BE且FH=BE，FH⊥CD．因此三角形DFH為直角三角形．
點E、F分別從頂點B、C同時開始以相同速度沿BC、CD運動，那么DF=3a-a=2a，DF=2a，FH=a，根據(jù)勾股定理就求出了DH的長．
（2）設BE=x，△DHE的面積為y，通過三角形DHE的面積=三角形CDE的面積+梯形CDHG的面積-三角形EGH的面積，來得出關于x，y的函數(shù)關系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出y取最小值時x的值，并求出此時y的值．

解：（1）連接FH，

∵△EGH≌△BCF，

∴HG＝FC，∠G＝∠BCF，

∴HG∥FC，

∴四邊開FCGH是平行四邊形，

∴FH∥CG，且FH＝CG，

又∵EG＝BC，

∴EG－EC＝BC－EC，即CG＝BE，

∴FH＝BE，

∵FH∥CG，

∴∠DFH＝∠DCG＝90°，

由題意可知：CF＝BE＝a，

在Rt△DFH中，DF＝3a－a＝2a，FH＝a，

∴DH＝＝a；

（2）設BE＝x，△DHE的面積為y，根據(jù)題意得：

y＝S△CDE+S梯形CDHG－S△EGH＝×3a(3a－x)+ (3a+x)x－×3a×x，

∴y＝x2－ax+a2＝(x－a)2+a2，

∴當x＝a，即E為BC的中點時，y取得最小值，即△DHE的面積取得最小值，最小值是a2.