Question

如圖等邊△ABC，以AB為直徑的⊙O交AC于E點(diǎn)，交BC于P，PF⊥AC于F，下列結(jié)論正確的是：

①②③④

．
①P是BC中點(diǎn)；②

BP

=

PE

；③PF是⊙O的切線；④AE=EC．

Answer 1

分析：連接AP．根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)推知點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，同理證得點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)；然后由三角形中位線定理，圓心角、弧、弦間的關(guān)系來(lái)證明

BP

=

PE

；連接OP，由切線的判定證得OP⊥PF即可．

解答：解：連接AP．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），即AP⊥BC；
又∵AB=AC，
∴點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，
故①正確；

同理，點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，
∴AE=EC，
故④正確；

∵連接PE．
點(diǎn)P、E分別是線段BC、AC的中點(diǎn)，BC=AC=AB（等邊三角形的三條邊相等），
∴PE=

1

2

AB（三角形中位線定理），BP=

1

2

BC=

1

2

AB，
∴BP=PE（等量代換），
∴

BP

=

PE

，
故②正確；

連接OP．
∵點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，
∴OP是△ABC的中位線，
∴OP∥AC；
又∵PF⊥AC，
∴PF⊥OP，
∵點(diǎn)P在⊙O上，
∴PF是⊙O的切線；
故③正確．
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④．
故答案是：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及圓周角定理．在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．