Question

如圖，O是正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連結(jié)DF，交BE的延長線于點G，連結(jié)OG．
（1）求證：①△BCE≌△DCF；②BG⊥DF． 
（2）OG與BF有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（3）若正方形ABCD的面積為1，求CE的長．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到∠DCF=90°=∠BCD，根據(jù)SAS即可證得△BCE≌△DCF；
②利用△BCE≌△DCF，得出∠1=∠F，∠F+∠2=90°，進而得出∠BGD=90°=∠BGF；
（2）首先證明△BDG≌△BGF，從而得到OG是△DBF的中位線，即可得出答案；
（3）根據(jù)（2）的證明可以得到BF=BD，則設(shè)EC=x，則BD=x+1，在直角△BCD中，利用勾股定理即可得到一個關(guān)于x的方程求得EC的長．

解答：（1）證明：①∵正方形ABCD中，BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠DCF=90°，
∴∠DCF=90°=∠BCD，
∵在△BCD和△DCF中，

BC=DC ∠BCD=∠DCF CE=CF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
②∵△BCE≌△DCF，
∴∠1=∠F，
∵∠BCD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠F+∠2=90°，
∵D、G、F三點共線，
∴∠BGF+∠BGD=180°，
∴∠BGD=90°=∠BGF，
即BG⊥DF；

（2）OG

∥

.

1

2

BF
理由：∵BE平分∠DBC，
∴∠2=∠3，
在△BGD和△BGF中，

∠3=∠2 BG=BG ∠BGD=∠BGF

，
∴△BGD≌△BGF（ASA），
∴DG=GF，
∵O為正方形ABCD的中心，
∴DO=OB，
∴OG是△DBF的中位線，
∴OG

∥

.

1

2

BF；

（3）解：∵BE平分∠DBC，
∴∠3=∠2，
∵GO∥BF，
∴∠2=∠OGB，
∴∠3=∠OGB，
∴BO=GO，
∴OG=

1

2

BD，
∴BD=BF，
設(shè)EC=x，則BF=BC+CF=BC+CE=x+1，
∴BD=x+1，
∵∠BCD=90°，
∴BC²+CD²=BD²，
即1²+1²=（x+1）²，
解得x=

2

-1，
即EC=

2

-1．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，正確理解定理是關(guān)鍵．